Ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes indeterminados

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¡Hola Jdrg1115!

Primero calcularemos la solución general de la ecuación homogénea. Después buscaremos una solución particular de la ecuación completa por el método de los coeficientes indeterminados. En este caso como

f(x)=3x+1

probaremos con un polinomio de grado 1

y=Ax+B

Y la suma de la general de la homogénea con la particular de la completa es la general de la completa.

La ecuación característica es:

k^2 + 3k + 2 = 0

que se factoriza fácilmente

(k+2)(k+1) = 0

Luego las soluciones son

k=-2

k=-1

Y la solución general de la homogénea es

ygh(x) = C1·e^(-x) + C2·e^(-2x)

Ahora probamos con la particular de la completa

ypc(x) = Ax + B

ypc'(x) = A

ypc''(x) = 0

Sustituimos estos datos en la ecuación completa

y"+3y'+2y=3x+1

0 +3A + 2(Ax+B) = 3x+1

3A + 2Ax +2B = 3x+1

Se deducen dos ecuaciones

2A = 3   ==>  A= 3/2

3A + 2B = 1  ==> 3(3/2) + 2B = 1  ==>  2B = 1 - 9/2 = -7/2 ==> B=-7/4

ypc(x) = 3x/2 - 7/4

Y con todo esto la solución es

y(x) = C1·e^(-x) + C2·e^(-2x) + 3x/2 -7/4

Sa lu dos.

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