Calcular las siguientes derivadas implícitas

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¡Hola Panchita!

Usaremos todas las reglas de derivación que supongo ya conocerás, y en especial la regla de la cadena.

Para derivar implícitamente se deriva la expresión respecto de x, teniendo en cuenta que y es una función de x y por lo tanto cuando haya que derivar y se escribirá y'. Una vez hecho esto se despeja y'.

$$\begin{align}&1)\quad \sqrt{xy} =x-2y\\&\\&\frac{1}{2 \sqrt{xy}}·(xy)' = 1-2·(y)'\\&\\&\frac{1·y+x·(y)'}{2 \sqrt {xy}}= 1 - 2y'\\&\\&\frac{y}{2 \sqrt{xy}}+\frac{xy'}{2 \sqrt {xy}}= 1-2y'\\&\\&\frac{x}{2 \sqrt {xy}}y'+2y'= 1-\frac{y}{2 \sqrt{xy}}\\&\\&\left(\frac{x}{2 \sqrt {xy}}+2\right)y'=1-\frac{y}{2 \sqrt{xy}}\\&\\&y'=\frac{1-\frac{y}{2 \sqrt{xy}}}{\frac{x}{2 \sqrt {xy}}+2}=\frac{\frac{2 \sqrt{xy}-y}{2 \sqrt {xy}}}{\frac{x+4 \sqrt xy}{2 \sqrt {xy}}}=\frac{2 \sqrt{xy}-y}{x+4 \sqrt xy}\\&\\&-----------------\\&\\&2)\quad 2sen\,x·\cos y=1\\&\\&2 \cos x·\cos y +2 sen\, x·(-sen\, y)·y'=0\\&\\&-2 sen\, x·sen\, y·y'=-2 \cos x·\cos y\\&\\&y'=\frac{\cos x·\cos y}{senx ·seny}= ctg\,x·ctg \,y\\&\\&\text{Yo prefiero la expresión del cociente}\end{align}$$

Y eso es todo, s a l u d o s.

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