1- ¿Cómo se resuelva la ecuación diferencial no homogénea?

;)
La solución general es la suma de la homogénea más una solución particular.

Homogénea:

y''-y=0

Ecuación característica:

$$\begin{align}&m^2-1=0\\&m= \pm1\\&\\&y_H=C_1e^{m_1x}+C_2e^{m_2x}=C_1e^x+C_2e^{-x}\\&\\&solución \ particular \ tipo:\\&y_P=Acosx+Bsenx\\&y'_p=-Asenx+Bcosx\\&y''_P=-Acosx-Bsenx\\&Sustituyendo\ en \ y''-y=senx\\&\\&-Acosx-Bsenx-(Acosx+Bsenx)=senx\\&-2Acosx-2Bsenx=senx\\&\Longrightarrow\\&A=0\\&-2B=1 \Rightarrow B=\frac{-1}{2} \Rightarrow y_P=-\frac{1}{2}senx\\&\\&y_G=y_H+y_P\\&\\&y_G=C_1e^x+C_2e^{-x}-\frac{1}{2}senx\end{align}$$

saludos

;)

;)

...

..

¡H o l a   Omar!

Calcularemos primero la solución general de la homogénea, luego una particular de la completa por el método de coeficientes indeterminados con una función similar a la del lado derecho. Y la solución general de la completa será la general de la homogénea más la particular de la completa.

Para la general de la homogénea calculamos las raíces de la ecuación característica:

$$\begin{align}&k^2-1=0\\&k^2=1\\&k_1=1\\&k_2=-1\\&\\&\text{Como son dos raíces distintas, la general de la homogénea es}\\&y_{GH}=C_1e^{x}+C_2e^{-x}\\&\\&\text{Como particular de la completa se prueba con}\\&\text{una trigonométrica completa}\\&Y_{PC}= A\,senx + B \cos x\\&Y'_{PC}=A \cos x - B \,sen\,x\\&Y''_{PC}=-A\,sen\,x-B\,\cos x\\&\\&\text{sustituyendo esto en la ecuación}\\&-A\,sen\,x-B\,\cos x-A\,senx - B \cos x=sen\,x\\&-2A\,sen\,x-2B \cos x = sen \,x\\&\\&luego\\&-2A=1\implies A=-\frac 12\\&-2B=0\implies B=0\\&\\&Y_{PC}=-\frac 12sen\,x\\&\\&\text{Y la general de la completa es:}\\&y=C_1e^x+C_2e^{-x}-\frac 12sen\,x\\&\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva, sa lu dos.

--

--