B- ¿Cómo se puede solucionar la siguiente ecuacion diferencial?

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Hola omar!

Solución de la homogénea:

y''-3y'=0

ecuación característica:

$$\begin{align}&m^2-3m=0\\&m(m-3)=0\\&m=0\\&m=3\\&\\&y_H=C_1e^{0}+C_2e^{3x}=C_1+C_2e^{3x}\\&\\&solución \ particular \ tipo: (Principio \ superposición)\\&y_P=Ae^{4x}+Bcosx+Csenx\\&y_P'=4Ae^{4x}-Bsenx+Ccosx\\&y''_P=16Ae^{4x}-Bcosx-Csenx\\&sustituyendo:\\&y''-3y'=2e^{4x}+3cosx\\&\\&16Ae^{4x}-Bcosx-Csenx-3(4Ae^{4x}-Bsenx+Ccosx)=2e^{4x}+3cosx\\&\\&4Ae^{4x}+(-B-3C)cosx+(3B-C)senx=2e^{4x}+3cosx\\&Igualando:\\&4A=2 \Rightarrow A=\frac{1}{2}\\&\\&-B-3C=3\\&3B-C=0 \rightarrow C=3B \rightarrow\\&-B-9B=3\\&B=-\frac{3}{10}\\&C=-\frac{9}{10}\\&\\&y_P=\frac{1}{2}e^{4x}-\frac{3}{10}cosx-\frac{9}{10}senx\\&solución general:\\&\\&y_G=y_H+y_P\\&\\&y_G=C_1+C_2e^{3x}+\frac{1}{2}e^{4x}-\frac{3}{10}cosx-\frac{9}{10}senx\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

saludos

;)

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¡Hola Omar!

Calcularemos primero la solución general de la homogénea, luego una particular de la completa por el método de coeficientes indeterminados con una función similar a la del lado derecho. Y la solución general de la completa será la general de la homogénea más la particular de la completa.

Para la general de la homogénea calculamos las raíces de la ecuación característica:

$$\begin{align}&k^2-3k=0\\&k(k-3)=0\\&k_1=0\\&k_2=3\\&\\&\text{Son dos raíces reales distintas, corresponde esta general}\\&\\&y_{GH}=C_1e^{0x}+C_2e^{3x}\\&y_{GH}=C_1+C_2e^{3x}\\&\\&\text{Para la particular probamos una exponencial de}\\&\text{igual exponente y una trigonométrica con seno y coseno}\\&\\&y_{PC}=ae^{4x}+b\,sen\,x+c\, \cos x\\&y'_{PC}=4ae^{4x}+b \cos x- c \,sen\,x\\&y''_{PC}=16ae^{4x}-b\,sen\,x-c\,\cos x\\&\\&\text{sustituimos estos valores en la ecuación}\\&16ae^{4x}-b\,sen\,x-c\,\cos x - 3(4ae^{4x}+b \cos x- c \,sen\,x=2e^{4x}+3 \cos x\\&16ae^{4x}-b\,sen\,x-c\,\cos x - 12ae^{4x}-3b \cos x+ 3c \,sen\,x=2e^{4x}+3 \cos x\\&4ae^{4x}+(3c-b)sen\,x-(c+3b)cosx=2e^{4x}+3 \cos x\\&\\&\text{se deducen estas tres ecuaciones}\\&4a=2\implies a=\frac 12\\&3c-b=0\implies b=3c\\&-c-3b=3\implies-c-9c=3 \implies c=-\frac 3{10}\implies \\&b=-\frac 9{10}\\&\\&Y_{PC}=\frac 12e^{4x}-\frac 9{10}sen \,x-\frac{3}{10}\cos x\\&\\&\text{Y la solución general de la completa es}\\&\\&y=C_1+C_2e^{3x}+\frac 12e^{4x}-\frac 9{10}sen \,x-\frac{3}{10}\cos x\\&\\&\\&\end{align}$$

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