¿Como se calcula el típico ejercicio de donde se cruzan dos trenes?

Supongamos que A esté "en el origen de coordenadas" moviéndose hacia la derecha y B está en algún punto a la derecha de A moviéndose hacia la izquierda. Como no das ningún valor, voy a dejar expresadas las ecuaciones de manera general, tenemos que:

$$\begin{align}&x_A(t) = V_{0A}\cdot t + \frac{1}{2} a_A t^2\\&v_A(t) = V_{0A} + a t\\&x_B(t) = X_B - V_{0B}\cdot t - \frac{1}{2} a_B t^2\\&v_B(t) = -V_{0B} - a_B t\\&\text{se encontrarán cuando }x_A(t) = x_B(t), \text{ o sea:}\\&x_A(t) = x_B(t)\\&V_{0A}\cdot t + \frac{1}{2} a_A t^2 = X_B - V_{0B}\cdot t - \frac{1}{2} a_B t^2\\&V_{0A}\cdot t + \frac{1}{2} a_A t^2 - X_B + V_{0B}\cdot t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 0\\&(\frac{1}{2} a_A + \frac{1}{2} a_B)t^2  + (V_{0A}+ V_{0B})\cdot t  - X_B= 0\\&\text{De acá despejás t, y lo reemplazás en cualquiera de las ecuaciones de posición}\\&\\&\end{align}$$

Creo que está claro, pero si tienes alguna duda, repregunta, sino no olvides finalizar la respuesta

La verdad es que me pierdo y me gustaría que me lo explicas es resolviendo un ejemplo cualquiera que se te ocurra. Por lo que entiendo en tus fórmulas ¿serian para casos con movimiento rectilineo uniformemente acelerado?

Supongo que la fórmula que admite aceleración sirve para calcular con velocidades constantes ¿no?

También me interesa el caso en que salen uno tras otro en persecución tanto saliendo ambos a la vez como en momentos diferentes. Muchas gracias.

Y por cierto, ¿podrías explicar a que equivale cada letra de las fórmulas?

$$\begin{align}& \end{align}$$

Intentaré responder tus preguntas (si me olvido alguna confirma)

$$\begin{align}&x_A(t): \text{ posición del vehículo A, a los 't' segundos}\\&x_B(t): \text{ posición del vehículo B, a los 't' segundos}\\&x_A: \text{No figura, porque en este caso sería cero}\\&x_B: \text{Posición inicial del vehículo B}\\&V_{0A}: \text{velocidad inicial del vehículo A}\\&V_{0B}: \text{velocidad inicial del vehículo B}\\&a_A: \text{aceleración del vehículo A}\\&a_B: \text{aceleración del vehículo B}\\&v_A(t): \text{ velocidad del vehículo A, a los 't' segundos}\\&v_B(t): \text{ velocidad del vehículo B, a los 't' segundos}\\&\text{Con velocidades normales, queda todo igual y simplemente }a_A=a_B=0\\&---\\&\text{Ejemplo: (trenes que se "cruzan")}\\&x_A: 0\\&x_B: 100 m\\&V_{0A}: 10 m/s\\&V_{0B}: -5 m/s\\&\text{Por lo que las ecuaciones quedarían:}\\&x_A(t)= 10 m/s \cdot t\\&x_B(t)=100 m - 5m/s \cdot t\\&x_A(t)=x_B(t)\\&10 m/s \cdot t = 100 m - 5m/s \cdot t\\&15 m/s\cdot t = 100\\&t = \frac{100m}{15m/s} = 6.667 s\\&Reemplazo\\&x_A(6.667s)= 10 m/s \cdot 6.667s = 66.67m\\&---\\&\text{Ejemplo: (tren que alcance a otro tren)}\\&x_A: 0\\&x_B: 100 m\\&V_{0A}: 10 m/s\\&V_{0B}: 5 m/s\\&x_A(t)= 10 m/s \cdot t\\&x_B(t)=100 m + 5m/s \cdot t\\&x_A(t)=x_B(t)\\&10 m/s \cdot t = 100 m + 5m/s \cdot t\\&5 m/s \cdot t = 100 m\\&t = \frac{100 m}{5 m/s} = 20s\\&x_A(20s)= 10 m/s \cdot 20s = 200m\end{align}$$

Gracias, me has dejado muy claro como hacerlo con velocidad constante y me he creado una aplicación que se basa en ello para calcular el punto de encuentro pero me gustaría aplicar la fórmula con aceleración y contando con que Xa no sea 0. Podrías ponerme algún ejemplo para direcciones contrarias y para persecución? Muchas gracias por tu tiempo y paciencia.

Mire, intenté despejar 't' pero la verdad es que el tema de despejar no se me da tan bien y seguro que hago algo mal. Hago esto:

   XA(t) = XB(t)
   XA + V0A * t + 1/2 * aA * t^2 = XB - V0B * t - 1/2 * aB * t^2;
   XA + (1/2 * aA + 1/2 * aB) * t^2 +(V0A + V0B) * t - XB = 0;
   (1/2 * aA + 1/2 * aB) * t^2 +(V0A + V0B) * t = XB - XA;
   t^2 +(V0A + V0B) * t = (XB - XA) / (1/2 * aA + 1/2 * aB);
   t^2 + t = (XB - XA) / ((1/2 * aA + 1/2 * aB) + (V0A + V0B));
   2t = raiz((XB - XA) / ((1/2 * aA + 1/2 * aB) + (V0A + V0B));
   t = (raiz((XB - XA) / ((1/2 * aA + 1/2 * aB) + (V0A + V0B))) / 2;
   Datos para el ejemplo:
   --------------------------------
   aA=5m/s
   aB=2m/s
   V0A=50m/s
   V0B=20m/s
   XA=30m
   XB=300m
   t=?

  -Aquí aplico la fórmula para obtener el tiempo que tardan en encontrarse:
   t = (raiz((300 -30) / ((1/2 * 5 + 1/2 * 2) + (50 + 20))) / 2;
   t = (raiz(270 / (3,5 + 70))) / 2;
   t = (raiz(270 / 73,5)) / 2;
   t = 1,916629695 / 2;
   t = 0,9583148475;

Si pudiera corregírmelo y explicarme como despejar la variable 't' paso a paso para saber como hacerlo se lo agradecería porque lo he intentado desde 0 pero he tenido que coger la formula final que me puso para empezar desde ahí porque no veía la manera de hacerlo :-(

De nuevo muchas gracias por su ayuda.

El paso que "no" deberías hacer es este

(1/2 * aA + 1/2 * aB) * t^2 +(V0A + V0B) * t = XB - XA

En lugar de eso, tenés que dejar la ecuación igualada a 0, así que tenemos que

$$\begin{align}& (1/2  a_A + 1/2  a_B) t^2 +(V_{0A} + V_{0B})  t + x_A - x_B=0\\&\text{a partir de aquí se resuelve con "la resolvente" para cuadráticas}\\&---\\&\text{Hago un paréntesis para explicar este punto}\\&{\color{blue}a}x^2+{\color{red}b}x+{\color{green}c}=0\\&x_{1,2}=\frac{-{\color{red}b}\pm \sqrt{{\color{red}b}^2-4\cdot {\color{blue}a} \cdot {\color{green}c}}}{2\cdot {\color{blue}a}}\\&---\\&\text{Volviendo al ejercicio, tenemos que:}\\&t_{1,2}=\frac{-(V_{0A} + V_{0B}) \pm \sqrt {(V_{0A} + V_{0B}) ^2- 2 \cdot  ( a_A +  a_B)\cdot (x_A - x_B) }}{ ( a_A +  a_B)}\\&\text{Acá va a depender de los valores que tengas en el ejercicio, pero en general te va a quedar o los dos valores iguales, o uno positivo y otro negativo (que no tiene sentido), o alguno que puedas descartar con algún criterio}\end{align}$$

Antes de resolver el ejercicio "puntual", necesito que me aclares si se trata de dos vehículos que van "de frente", o si se trata de un vehículo que sale en una dirección y otro que sale "a buscarlo" (porque por la forma que pusiste los signos de aB y V0B se trataría de este último caso.

Es el primer caso pero es que hace casi 30 años que no toco nada de esto y no recuerdo bien como se haría para despejar t. Me interesaría muchísimo que lo despejará paso a paso para ver como se hace y así poder practicarlo de forma correcta porque tengo bastantes dudas.

¿por qué en la fórmula hay un signo +/-?

Estoy interesado tanto en el primer caso como en el segundo pero ahora mismo intento entender como se hace el primer caso.

De nuevo muchas gracias.

Lo del signo +/- supongo que te referís a la fórmula de resolver la cuadrática y es así, básicamente porque luego tenés una raíz cuadrada y eso hace que tenga dos valores posibles (uno + y otro -).

Respecto al ejercicio que planteas, entonces voy a acomodar los signos para resolver el ejercicio:

$$\begin{align}&a_A=5m/s^2 \text{ (ajusto las unidades)}\\&a_B=-2m/s^2text{ (ajusto las unidades y el signo)}\\&V_{0A}=50m/s\\&V_{0B}=-20m/s \text{ (ajusto el signo)}\\&X_A=30m\\&X_B=300m\\&t=?\\&\text{El ajuste de los signos, es para indicar hacia que lado se está moviendo, que en el caso del vehículo B lo estaría haciendo de derecha a izquierda}\\&x_A(t) = x_A + v_{0A} t + \frac{1}{2} a_A t^2\\&x_B(t) = x_B + v_{0B} t + \frac{1}{2} a_B t^2\\&Reemplazando...\\&x_A(t) = 30m + 50m/s \cdot  t + \frac{1}{2} 5m/s^2\cdot t^2\\&x_B(t) = 300m -20m/s \cdot  t - \frac{1}{2} 2m/s^2 \cdot  t^2\\&x_A(t)=x_B(t) \text{ (reacomodo previamente las aceleraciones)}\\&30m + 50m/s \cdot  t + \frac{5}{2} m/s^2\cdot t^2  = 300m -20m/s \cdot  t - m/s^2 \cdot  t^2\\&\text{Saco las unidades, fijate igualmente que quedará todo en metros, porque los segundos se van cancelando y queda todo sumas / restas de metros, como es lógico, pues igualamos dos posiciones}\\&30 + 50t + \frac{5}{2}  t^2  = 300 -20 t -  t^2\\&\text{Pasaje de términos, dejo igualado a cero}\\&30 + 50t + \frac{5}{2}  t^2  - 300 +20 t +  t^2=0\\&\frac{7}{2} t^2 + 70t - 270 = 0\\&\text{Aplico la fórmula para resolver cuadráticas}\\&t_{1,2} = \frac{-70 \pm \sqrt{70^2-4 \cdot \frac{7}{2}\cdot (-270)}}{2 \cdot \frac{7}{2}}\\&t_{1,2} = \frac{-70 \pm \sqrt{4900+3780}}{7}\\&t_1 = 3.31 s\\&t_2 = -23.31 s\\&\text{Obviamente la respuesta negativa, no tiene sentido en el problema, así que para t=3.31s tenemos que}\\&x_A(3.31s) = 30m + 50m/s \cdot  3.31s + \frac{1}{2} 5m/s^2\cdot (3.31s)^2=\\&30m + 165.5m+27.39m = 222.89m\end{align}$$

y eso es todo.

Te pido que a partir de ahora, para otros ejercicios planteés una nueva pregunta.

A ver si puede explicarme mejor esta parte que me pierdo:

30+50t+(5/2)t^2−300+20t+t^2=0

(7/2)t^2+70t−270=0

O sea yo llego hasta aqui:

50t+20t+(5/2)t^2−300+30+t^2=0

70t+(5/2)t^2-270+t^2=0

(5/2)t^2+70t-270+t^2=0

¿como hace para quitar el t^2 del final y que le de (7/2)t^2 ?

Otra cosa,nunca vi nada sobre cuadráticas, es más, ni siquiera se que es eso.

Y por último ¿como hace para que queden las operaciones de sus mensajes en una especie de recuadros con formato? Son lo más jejeje.

Ok, ya vi la parte de de donde sale el (7/2)^2:

(5/2)t^2 + t^2 =  (5/2)t^2 + (1/1)t^2;

Cómo para sumar fracciones hay que tener el mismo denominador multiplico el numerador y el denominador por el otro:

(5/2)t^2 + (2/2)t^2 = (7/2)t^2

Lo de las cuadráticas ya si que no tengo ni idea de que son.