Esta ecuación diferencial tiene condiciones, ¿Cómo las aplico en que momento?

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¡Hola Yuleny!

Es una ecuación lineal homogénea. Calcularemos las raíces de la ecuación característica y según como sean hay tres posibilidades

$$\begin{align}&k^2+5k+6=0\\&\\&k=\frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{-5\pm1}{2}\\&\\&k_1=-2\\&K_2=-3\\&\\&\text{Son reales y distintas luego la solución general es}\\&\\&y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}\\&\\&\text{Para que se cumplan las condiciones iniciales}\\&\\&y(0)=0\implies C_1+C_2=2\\&\\&y'=-2C_1e^{-2x}-3C_2e^{-3x}\\&\\&y'(0)=3\implies -2C_1-3C_2=3\\&\\&\text{La primera por 2 se suma a la segunda}\\&\\&-C_2=7\\&C_2=-7\\&C_1=2-C_2=2+7=9\\&\\&\text{luego la solución es}\\&\\&y=9e^{-2x}-7e^{-3x}\end{align}$$

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$$\begin{align}& \end{align}$$

Lo primero que haces es resolver el homogeneo y luego con las condiciones iniciales estableces el valor de las constantes, veamos:

$$\begin{align}&y'' + 5y' + 6y = 0\\&Ec\ Auxiliar: m^2 + 5m + 6 = 0\\&m_{1,2}=\frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2\cdot 1}=\frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}\\&m_1 = -2\\&m_2 = -3\\&\text{Por lo tanto la solución general es:}\\&y=C_1 e^{-2x}+ C_2 e^{-3x}\\&\text{Para ver los valores de las constantes, derivamos el valor una vez y tenemos:}\\&y'=C_1 e^{-2x}\cdot (-2)+ C_2 e^{-3x} \cdot (-3) = -2 C_1 e^{-2x}-3 C_2 e^{-3x} \\&\text{y ahora planteamos las condiciones iniciales}\\&y(0) = 2 =  C_1 e^{-2 \cdot 0}+ C_2 e^{-3\cdot 0}=C_1+C_2\\&y'(0) = 3 = -2 C_1 e^{-2 \cdot 0}-3 C_2 e^{-3\cdot 0}=-2C_1 - 3C_2\\&En\ limpio\\&2  =C_1+C_2\\&3 =-2C_1 - 3C_2\\&\text{(multiplico la fila 1 por 2 y la sumo a la fila 2)}\\&7=-C_2 \to C_2 = -7\\&Reemplazando\\&2 = C_1 + (-7) \to C_1 = 9\\&\text{Volviendo a la ecuación original de y}\\&y=9 e^{-2x}-7 e^{-3x}\end{align}$$