Cómo resuelvo estas ecuaciones exponenciales?
Normalmente siempre elijo ejercicios resueltos pero, como se me daban bien, he elegido estas ecuaciones exponenciales pero me dan una solución muy "rara": raíz negativa, raíz de 88... ¿Me podéis echar una mano?
Gracias anticipadas
3 respuestas
;)
Hola tatifdzbtz!
Te hago los tres primeros:
Se hacen por cambio de variable
1.-
$$\begin{align}&9^x-6·3^x+81=0\\&\\&3^{2x}-6·3^x+81=0\\&3^x=z\\&z^2-6z+81=0\\&\\&z=\frac{6 \pm \sqrt{36-324}}{2}=\sin \ solución\\&2.-\\&1+9^x=3^{x+1}+3^{x-1}\\&\\&1+3^{2x}=3^x·3+\frac{3^x}{3}\\&\\&3^x=z\\&1+z^2=3z+\frac{z}{3}\\&multiplicándola \ por \ 3:\\&3+3z^2=9z+z\\&3z^2-10z+3=0\\&\\&z=\frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{6}=\frac{10 \pm8}{6}=\\&\\&z_1=\frac{18}{6}=3 \Rightarrow3=3^x \Rightarrow x=1\\&\\&z_2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \Rightarrow 3^{-1}=3^x \Rightarrow x=-1\\&\\&3)\\&5^{2x-2}-6·5^x+125=0\\&\\&\frac{5^{2x}}{5^2}-6·5^x+125=0\\&5^x=z\\&\frac{z^2}{25}-6z+125=0\\&multiplicándola \ por \ 25:\\&\\&z^2-150z+3125=0\\&\\&z=\frac{150 \pm \sqrt{150^2-4·3125}}{2}=\frac{150 \pm \sqrt{10000}}{2}=\frac{150 \pm100}{2}=\\&\\&z_1=\frac{250}{2}=125=5^3 \Rightarrow x=3\\&\\&z_2=\frac{50}{2}=25=5^2 \Rightarrow x=2\\&\end{align}$$
Podrías ayudarme con las dos últimas ecuaciones? Estoy intentando preguntar pero me manda siempre a esta pregunta, como si fuese repetida.
Gracias anticipadas.
;)
4)
$$\begin{align}&2^x+\frac{1}{2^{x-2}}=5\\&\\&2^x=z\\&\\&2^x+\frac{1}{\frac{2^x}{2^2}}=5\\&\\&2^x+\frac{4}{2^x}=5\\&\\&z+\frac{4}{z}=5\\&\\&multiplicándola \ por \ z(\ sacar \ denominadores)\\&z^2+4=5z\\&z^2-5z+4=0\\&\\&z=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}=\frac{5 \pm 3}{2}\\&\\&z_1=4=2^2=2^x \rightarrow x=2\\&\\&z_2 =\frac{5-3}{2}=1\Rightarrow1=2^0=2^x \Rightarrow x=0\\&\\&5.-\\&5^{x-1}=2+\frac{3}{5^{x-2}}\\&\\&\frac{5^x}{5}=2+\frac{3}{\frac{5^x}{5^2}}\\&\\&\frac{5^x}{5}=2+\frac{3·25}{5^x}\\&\\&5^x=z\\&\\&\frac{z}{5}=2+\frac{75}{z}\\&\\&multiplicándola \ por \ 5z(sacar \ denominadores)\\&z^2=10z+375\\&\\&z^2-10z-375=0\\&\\&z=\frac{10 \pm \sqrt {100+1500}}{2}=\frac{10 \pm 40}{2}=\\&\\&z_1=25 \Rightarrow5^2=5^x \Rightarrow x=2\\&\\&z_2=\frac{-30}{2}=-15 \Rightarrow -15=5^x \Rightarrow imposible\end{align}$$ninguna potencia de base positiva 5^x puede dar negativo (-15)
unica solución x=2
;)
;)
Hacemos un máximo de 2 ejercicios por pregunta, te dejo los 2 primeros
$$\begin{align}&9^x - 6 \cdot 3^x + 81 = 0\\&(3^2)^x + 3^4 = 6 \cdot 3^x\\&3^{2x} + 3^4 = 2\cdot3 \cdot 3^x\\&3^{2x} + 3^4 = 2 \cdot 3^{x+1}\\&\text{Y aquí no pude hacer nada, ni siquiera encontré la solución aplicando el método de Newton-Raphson}\\&\text{Aunque analizando la expresión, me parece que esa expresión es siempre positiva (por ende, nunca es igual a cero)}\\&---\\&\text{A ver que pasa con el segundo...}\\&1 + 9^x = 3^{x+1}+3^{x-1}\\&1 + 3^{2x} = 3^x(3+3^{-1}) = \frac{10}{3} 3^x\\&1 + 3^{2x} = \frac{10}{3} 3^x\\&1 + 3^{2x} - \frac{10}{3} 3^x=0\\&x=1 \text{ es solución, (la verdad que salió de casualidad, buscando intervalos donde la expresión cambie de signo)}\end{align}$$La verdad que están medio rebuscados esos ejercicios para resolverlos algebraicamente, seguro que no pueden ser resueltos por métodos iterativos?
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¡Hola teresa Fernández
Si te dan raíces de números negativos no tienen respuesta real. Pero si compleja, no sé si habrás dado ya los números complejos. Tienes que hacer los ejercicios que han sido preparados para lo que has estudiado, si no has dado números complejos los ejercicios estarían preparados para no dar como solución la raiz cuadrada de números negativos. Mientras que si te los inventas tú puede que sí la den.
$$\begin{align}&9^x - 6·3^x + 81=0\\&\\&\left(3^2\right)^x-6·3^x+81=0\\&\\&\left(3^x\right)^2-6·3^x+81=0\\&\\&\text{Es una ecuación de segundo grado donde}\\&\text{la incógnita es }3^x\\&\\&3^x=\frac{6\pm \sqrt{36-324}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{-288}}{2}=\\&\\&\frac{6\pm 12 \sqrt{-2} }{2}=3\pm 6 \sqrt {-2}\\&\\&\text{no tiene soluciones reales}\\&\\&------------------\\&\\&1+9^x=3^{x+1}+3^{x-1}\\&\\&1+\left(3^{2}\right)^x=3^x\left(3+\frac 13\right)\\&\\&1+\left(3^{x}\right)^2=3^x\left(\frac {10}3\right)\\&\\&3+3·\left(3^{x}\right)^2=10·3^x\\&\\&3·\left(3^{x}\right)^2-10·3^x+ 3=0\\&\\&3^x=\frac{10\pm \sqrt{100-36}}{6}=\frac{10\pm 8}{6}=3 \;y\;\frac 13\\&\\&3^x=3\implies x_1=1\\&3^x= \frac 13\implies x_2=-1\end{align}$$Esta segunda tiene dos soluciones reales.
Y eso es todo, no se pueden mandar tantos ejercicios en una sola pregunta, si quieres mandalos en otra con nunca más de dos en cada una.
S a l u d o s.
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¡Gracias! Creo que no volveré a hacer ejercicios que no estén resueltos, así me evito problemas y dejo de molestar. Gracias de nuevo :D