¿Cómo demostrar que la ecuación es una hipérbola?
Demostrar que la siguiente ecuación representa una hipérbola
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola Milena!
Agrupando variables:
$$\begin{align}&9x^2-54x-(4y^2-8y)+113=0\\&\\&completando \ cuadrados \ y \ compensando \ término \ independiente:\\&9(x-3)^2-81-4(y-1)^2+4+113=0\\&\\&9(x-3)^2-4(y-1)^2+36=0\\&trasponiendo \ términos:\\&36=4(y-1)^2-9(x-3)^2\\&dividiendo \ por \ 36\\&1=\frac{(y-1)^2}{9}-\frac{(x-3)^2}{4}\\&\\&Parabola \ vertical \ eje \ x=3\\&Centro(3,1)\\&c^2=a^2+b^2=9+4=13\\&Focos:\\&(3,1+ \sqrt{13})\\&(3,1-\sqrt{13})\\&Vertices:\\&(3,3+1)=(3,4)\\&(3,-1-1)=(3,-2)\end{align}$$graficando:
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Milena!
Completaremos cuadrados
$$\begin{align}&9x^2-54x-4y^2+8y= -113\\&\\&(3x-9)^2-81 - (2y-2)^2 +4 = -113\\&\\&\text{sacamos de factor común los coeficientes de x y y}\\&\text{pero elevados al cuadrado}\\&\\&9(x-3)^2-4(y-1)^2=-36\\&\\&-\frac{(x-3)^2}{4} +\frac{(y-1)^2}{9}=1\\&\\&\frac{(y-1)^2}{3^2}-\frac{(x-3)}{2^2}=1\\&\\&\text{es una hipérbola vertical}\\&\\&\text{ El centro es }(3,1)\\&\\&\text{La semidistancia focal en una hipérbola es}\\&\\&C=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\\&\\&\text{Al ser vertical esa distancia se mide en vertical desde el centro}\\&\\&F_1=(3,1-\sqrt{13})\\&F_2=(3,1+\sqrt{13}\\&\\&\text{Y los vértices están a=3 distancia a del centro en vertical}\\&\\&V_1=(3,1-3)=(3,-2)\\&V_2=(3,1+3)=(1,4)\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Gracias! Muchas Gracias, Profesor por su explicación y ayuda.
No se si te diste cuenta que al final tuve una errata al transcribir mal un número
V2=(3,1+3) = (3, 4)