Álgebra abstracta...demostración suma de dos elementos!
De antemano agradeciendo de manera infinita su apoyo en este ejercicio...
Sea Z_n={0,1,…,n} y defínase la suma de dos elementos a y b en Z_n como a+b=r, donde r es el resíduo que se obtiene después de dividir a+b entre n. Demuestre que Z_n con esta suma es un grupo.
1 respuesta
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¡Hola Zankass!
Hay que probar una por una las propiedades de un grupo.
Es una operación interna, los elementos de Zn son {0,1,.., n-1} y los residuos módulo n son {0,1, ..., n-1}, luego los resultados de la operación están en el grupo.
Asociativa:
(a+b)+c = [(a+b) (mod n) + c] (mod n) = (a+b+c) (mod n)
a+(b+c) = {a + [(b+c) (mod n)]}(mod n) = (a+b+c) (mod n)
Esto es complicadao de probar, si quieres pon los cuatro casos posibles, pero todos sabemos que el resultado siempre es el residuo de a+b+c entre n
Tiene elemento neutro, el 0:
a+0 = 0+a = a
Todo elemento tiene su inverso:
El inverso de a es (n-a) ya que
a + (n-a) = n (mod n) = 0
(n-a) + a = n (mod n) = 0
Con eso queda probado que es grupo. Podemos añadir si acaso que es abeliano ya que
a+b = a+b (mod n)
b+a = b+a (mod n)
Son lo mismo.
Y eso es todo.
