Álgebra abstracta... Problema sobre un grupo de torsión!
Esperando contar con su valioso apoyo en este ejercicio, de antemano muchas gracias!
Sea G un grupo de torsión y H un subgrupo normal de G. Demuestre que el grupo factor G/H es también de torsión.
1 Respuesta
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¡Hola Zankass!
Un grupo G es de torsión si todos sus elementos tienen orden finito, para cada elemento a de G existe un n_a de N tal que a^(n_a) = 1
El que H sea normal es para que la operación dentro de G/H esté bien definida.
Dado a de G a su clase en G/H se le denota aH
Y dados dos elementos aH y bH de G/H su operación se define como
aH · bH = (a·b)H
Entonces, un elemento aH de G/H operarado consigo mismo n_a veces, donde n_a es el orden de a en G, será
(aH)^(n_a) = (a·a·a···a)H = (a^(n_a))H = 1H que es el elemento neutro de G/H
Luego aH tiene orden finito, el mismo que tenía a, y G/H es un grupo de torsión.
Y eso es todo, saludos.
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