Duda sobre el siguiente problema de conjuntos
Os escribo para que me ayudéis en resolver el siguiente ejercicio:
Sean un conjunto no vacío y ≤ una relación de orden en X. Se define en P (X) \ {Ø} la relación R dada por:
A R B si y sólo si A = B o ( ∀a ∈A ∀b ∈B a≤ b )
Determine razonadamente si R es una relación de equivalencia o de orden en P (X) \ {Ø}
1 respuesta
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¡Hola Jonnygc!
Una relación de equivalencia no va a poder ser porque desde lejos vemos que falla la propiedad simétrica, si tú tomas los conjuntos
A={1} B={2}
de los números naturales con la relación de orden entre ellos tienes
A R B
Pero no tienes B R A
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Luego vamos a probar si es una relación de orden.
Es reflexiva por definición
A R B
Es antisimetrica, supongamos que A R B, B R A y A distinto de B
Existe un elemento x bien sea de A o de B que solo está en ese conjunto, sin perder generalidad supongamos que es de A. Por ser A R B y x no pertenece a B entonces x es menor que todos los elementos de B, pero por cumplirse B R A cualquier elemento e B es menor que x. Entonces x es a la vez mayor y menor que cualquier elemento de B, absurdo.
Luego si A R B y B R A, entonces A=B
Y es transitiva:
Si A R B y B R C
Usaré < para indicar que están relacionados pero no son iguales
1) Si A=B=C tenemos A=C se cumple
2) Si A<B=C tenemos A<C se cumple
3) Si A=B<C tenemos A<C se cumple
3) Si A < B < C para todo a de A, b de B y c de C se cumple
a <= b <= c luego
y como <= es una relación de orden se cumple
a <= c
eso para cualquiera que sea a de A y c de C, luego
A R C
Y eso es todo.
