Transformada de laplace y ecuaciones diferenciales
$$\begin{align}&y' + 2y = t \\&y(0)=-1\end{align}$$como se resuelve esta ecuacion por medio de laplace?
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Yuleny!
Hallamos la transformada de Laplace en los dos lados de la ecuación
$$\begin{align}&\mathcal L\{y'+2y\}=\mathcal L\{t\}\\&\\&\mathcal L\{y'\}+2\mathcal L\{y\}=\frac 1{s^2}\\&\\&s\,\mathcal L\{y\}-y(0)+2\mathcal L\{y\}=\frac 1{s^2}\\&\\&s\,\mathcal L\{y\}+1+2\mathcal L\{y\}=\frac 1{s^2}\\&\\&(s+2)\mathcal L\{y\}=\frac{1}{s^2}-1 =\frac{1-s^2}{s^2}\\&\\&\mathcal L\{y\}=\frac{1-s^2}{s^2(s+2)}\\&\\&y= \mathcal L^{-1}\left\{\frac{1-s^2}{s^2(s+2)} \right\}\\&\\&\text{Lo descomponemos en fracciones simples}\\&\\&\frac{a}{s}+\frac b{s^2}+\frac{c}{s+2}=\\&\\&\frac{as(s+2)+b(s+2)+cs^2}{s^2(s+2)}\\&\\&\text{El numerador es lo que interesa y es}\\&as^2+2as+bs+2b+cs^2=\\&(a+c)s^2+(2a+b)s+2b\\&\\&\text{que debe ser igual al que había}\\&(a+c)s^2+(2a+b)s+2b=1-s^2\\&a+c=-1\\&2a+b=0\\&2b=1\implies b=\frac 12\\&a=-\frac b2=-\frac 14\\&c=-1-a=-\frac 34\\&\\&y=\mathcal L^{-1}\left\{-\frac 14· \frac 1s + \frac 12·\frac 1{s^2}-\frac 34·\frac{1}{s+2}\right\}\\&\\&y=-\frac 14+\frac t2-\frac 34e^{-2t}\\&\\&\end{align}$$:
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