Dudas sobre grupos simétricos en álgebra abstracta...

·

·

¡Hola Zankas!

Los subgrupos no triviales de S_3 son

H_1 = <(1,2)>

H_2 = <(1,3)>

H_3 = <(2,3)>

H_4 = <(1,2,3)>

Luego si hay grupos conjugados deben ser los tres primeros, veamos.  Sea g=(1,3)  veamos que es g·H_1·g^-1

(1,3)·( )·(1,3) = ( )

(1,3)·(1,2)·(1,3) = (2,3)

Luego g·H_1·g^-1 = H_3

Luego H_1 y H_3 son conjugados. Ya que la conjugación es una relación de equivalencia, puedes comprobarlo con

(1,2)·(1,3)·(1,2) = (2,3)

·

Y si g =(2,3)

(2,3)·( )·(2,3) = ( )

(2,3)·(1,2)·(2,3) = (1,3)

Luego H1 es conjugado de H_2

·

Y por ser una relación de equivalencia y con las dos que hemos demostrado ya queda probado que los tres grupos H_1, H_2 y H_3 son conjugados.

He hecho esta demostración por definición, tal vez en tu toería haya algún teorema que lo haga más inmediato, si me la pasas a lo mejor puedo responder de forma mejor tus preguntas.

Y eso es todo, saludos.

·

·