1 Respuesta
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¡Hola German!
Calculamos las derivadas y comprobamos
Para y=x^3
y'=3x^2
y'' = 6x
x^2·6x - 4x·3x^2 + 6x^3 = 6x^3 - 12x^3 + 6x^3 = 0
es solución.
Para y = |x|^3
Si x>=0 las derivadas son las mismas del caso anterior y lo cumple
Si x<=0 la función y=|x|^3 es
y=-x^3
y'= -3x^2
y'' = -6x
x^2·(-6x) - 4x·(-3x^2) + 6(-x^3) = -6x^3 + 12x^3 - 6x^3 = 0
Luego y=|x|^3 también es solución de la ecuación.
Y comprobamos que son independientes, supongamos existen a y b tales que
ax^3 + b|x|^3 = 0
y veremos que deben ser a=b=0 con lo cual son independientes.
Se debe cumplir para x=1
a·1^3 + b|1|^3 = 0
a+b=0
y se debe cumplir también para x=-1
a(-1)^3 + b|-1|^3 = 0
-a +b = 0
Sumando las dos ecuaciones
2b=0
b=0
a=-b = 0
Luego a=b=0 como queríamos demostrar y las dos soluciones son linealmene independientes.
Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Gracias!
Saludos profesor valero.
Porque a=-b=0
Muchas gracias.
Saludos profesor Valero.
Como sería si se quisiera encontrar la independencia por el método wronskiano.
Muchas gracias
Se me coló el signo menos, y aunque no está mal porque b=-b=0, yo quería decir a=b=0
El wronskiano sirve para probar la independencia lineal, pero no la dependencia lineal, es decir:
Wronskiano distinto de 0 ==> independientes
wronskiano = 0 no implica nada
Este es precisamente uno de esos casos donde el wronskiano es 0 pero son independientes. Además incluso es el ejemplo que sale en la wikipedia en el artículo sobre el wronskiano.
https://es.wikipedia.org/wiki/Wronskiano#Ejemplos
Espero no salga mucho artículo pero eso no lo podemos controlar nosotros, la página pone todo lo que le da la gana poner.
