Definiendo el homomorfismo en un grupo abeliano...álgebra abstracta!
De antemano muchas gracias al contar con su valioso apoyo en este ejercicio!
Sea G un grupo abeliano y sea g un elemento de G. Defina el homomorfismo h:G ---> G dado por h(x)=(g^{-1})(x)(g). Sea K el kernel del homomorfismo h. ¿Cuál es el orden del grupo factor G/K?.
1 respuesta
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¡Hola Zankass!
Si G es un grupo abeliano fíjate que:
h(x) = g^(-1)·x·g = x·g^(-1)·g = x·1 = x
Luego el homomorfismo es la identidad. Y el nucleo de la identidad es el elemento neutro, solo el elemento neutro va al elemento nuetro a través de la identidad.
Y cuando se hace el cociente por el grupo que solo tiene el elemento neutro las clases que se crean son el mismo grupo, puesto que para que dos elementos están relacionados debe suceder
a·b^(-1) = 0
a·b^(-1)·b = b
a=b
Luego resumiendo:
G\K es isomorfo a G y tiene el orden de G.
No haría falta tanto si ya hubieras dado que el orden del grupo cociente es el cociente de los órdenes, y como el divisor es 1 el orden sería el orden de G.
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Sa lu dos.
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