Duda sobre problemas de Divisibilidad
Me gustaría que alguien me ayude con un par de ejercicios sobre Divisibilidad
1) Probar que todo entero impar que NO es múltiplo de 3, es de la forma 6m ± 1, con m entero.
2) Probar que el producto de tres enteros consecutivos es divisible por 6.
3 Respuestas
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¡Hola Patito!
Toma los números de 6 en 6
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
Los de las columnas segunda cuarta y sexta son pares
Los de la columna tercera son múltiplos de 3
Luego los que te quedan son solo la columna primera y quinta.
Los de la columna primera son de la forma 6m+1 y los de la columna quinta son 6m-1.
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Si tomas tres número sseguidos por fuerza hay uno o dos pares, luego el factor primo 2 aparece en el producto. Y entre tres números seguidos también uno de los tres es por fuerza múltiplo de 3, luego aparece el factor primo 3 en el producto.
Luego en el producto aparecen los factores primos 2 y 3, por lo tanto es múltiplo de 6 y divisible por 6.
Y eso es todo, saludos.
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Es preferible que votes excelente a todos los que repondemos bien, solo así te garantizas respuestas futuras de quien sea. Las discriminaciones son odiosas.
Puedes cambiar la votación aquí abajo.
Sa_lu_dos.
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Respecto al punto 2), fijate que el número será de la forma
x (x+1) (x+2)
Como son 3 números consecutivos, seguro uno de ellos será divisible por 3, y por otro lado, con tres números seguidos, al menos uno de ellos será par (puede que incluso sean dos, pero al menos uno seguro).
En concreto tenemos un número que es divisible por 2 y por 3, por lo tanto es divisible por 6.
Manda el otro en una pregunta por separado o espera que otro experto la
,)
Hola patito!
a)
Sea n impar, será de la forma n=2k+1 con k entero
n no es múltiplo de 3.Luego es de la forma n=3h+1 o n=3h+2
Caso1)
n=3h+1=2k+1 implica
2k=3h
y esto se cumple solo si k es múltiplo de 3
k=3m
luego
n=2k+1=2(3m)+1=6m+1 (c.q.d.) como queríamos demostrar
Caso2)
n=3h+2
2k+1=3h+2 sumando 1
2k+2=3h+3
2(k+1)=3(h+1)
lo que implica que k+1 es múltiplo de 3, luego
k+1=3m
k=3m-1 luego n:
n=2k+1=2(3m-1)+1=6m-1 (c.q.d.)
Saludos
;)
;)