¿Cual es la respuesta para este ejercicio de aplicaciones de la Edo?
En un túnel subterráneo de dimensiones 20x5x4 m3, existe una concentración de gas carbónico(CO2) del 0.16%, mientras que en el aire exterior la concentración del gas es del0.04%. Se insufla aire del exterior en el túnel con unos ventiladores a razón de 50m3/min .. Halla la concentración de gas carbónico en el túnel media hora después de iniciado el proceso de renovación de aire
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Oscar!
En un momento determinado habrá una concentración y(t)
Lo haremos de una forma profesional, la concentración no irá en tanto por ciento sino en número, es decir, el cociente entre los m^3 de CO2 y los 400m^3 del tunel. El tiempo irá en minutos.
En el momento t+dt la concentración se calcula así
$$\begin{align}&y(t+dt) = \frac{400m^3·y(t)-50m^3· y(t)·dt}{400m^3}=\\&\\&=y(t)-\frac 18y(t)\;dt\\&\\&\text{Con lo cual la derivada es}\\&\\&y'(t)=\lim_{dt\to 0} \frac{y(t+dt)-y(t)}{dt}=\\&\\& \lim_{dt\to 0} \frac{y(t)-\frac 18y(t)\;dt-y(t)}{dt}=\\&\\& \lim_{dt\to 0} \frac{-\frac 18y(t)\;dt}{dt}=-\frac 18y(t)\\&\\&\text{Y la ecuación diferencial es}\\&\\&y'=-\frac{1}{8}y\\&\\&y'+\frac 18y=0\\&\\&k+\frac 18=0\\&k= -\frac 18\\&\\&y=C·e^{-\frac 18t}\\&\\&\text{Para t =0 la concentración es 0.16%=0.0016}\\&\text{Luego debe cumplirse}\\&\\&y(0)=C·e^0=0.0016\\&C=0.0016\\&\\&\text{La ecuación es}\\&y(t)=0.0016e^{-t/8}\\&\\&\text{media hora son 30 minutos}\\&\\&y(30)=0.0016e^{-30/8}=0.00003762839 = \\&\\&\text{y si se quiere dar en % es}\\&0.003762839\%\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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