Álgebra abstracta...demostración que todo grupo de orden primo es abeliano!
Sin usar el concepto de subgrupo normal, demuestre que todo grupo de orden primo es abeliano.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Zankass!
Primero veamos que es cíclico. Por ser de orden primo los únicos subgrupos que tiene son todo el grupo o el grupo que tiene solo al elemento neutro. Entonces el sub grupo generado por un elemento distinto del elemento neutro no será el de solo el elemento neutro será el grupo total. Luego todo el grupo está generado por un solo elemento
G = {a, a^2, a^3, ...., a^(n)=e}
Dados dos elementos b y c del grupo existiran unos exponentes j y k tales que
b=a^j
c=a^k
entonces
bc = a^j · a^k = a^(j+k)
cb = a^k · a^j = a^(j+k) = a^(j+k)
luego
bc=cb
Y el grupo es abeliano.
Y eso es todo, saludos.
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