Álgebra abstracta... Dudas sobre el tema de grupos isomorfos!

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¡Hola Zankass!

Por supuesto que tiene toda la pinta de que sean isomorfos.

Sea φ: H ----> Q

Un isomorfismo, tiene que existir uno al menos ya que son isomorfos.

Entonces lo que parece claro es que vamos a probar con el isomorfismo

α: G/H ----> G/Q

(aH)α = (aφ)Q

Veamos que está bien definido:

sean a y b representantes de la misma clase en G/H  aH=bH

eso significa que ab^(-1) € H y por lo tanto [ab^(-1)]φ € Q

[ab^(-1)]φ = aφ · b^(-1)φ

veamos que b^(-1)φ = (bφ)^(-1)

1 = 1φ =[b·b^(-1)]φ = bφ · b^(-1)φ

multiplicando en primera y última

(bφ)^(-1) = (bφ)^(-1)· bφ · b^(-1)φ

(bφ)^(-1) = b^(-1)φ

con esto volvemos donde lo habíamos dejado

[ab^(-1)]φ = aφ · b^(-1)φ = aφ ·(bφ)^(-1) € Q

luego aφ y bφ son de la misma clase en G/Q

(aφ)Q = (bφ)Q

Luego la aplicación:

α: G/H ----> G/Q

(aH)α = (aφ)Q

Está bien definida, sea cual sea el representante que tomemos de una clase de G/H obtendremos la misma clase en G/Q

Veamos que es un homomorfismo:

(aH·bH)α = [(ab)H]α = (ab)Q = aQ·bQ = (aH)α · (bH)α

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Veamos que es inyectivo:

Sea (aH)α = (bH)α 

entonces

(aφ)Q = (bφ)Q

por ser aφ y bφ representantes de la misma clase

aφ · (bφ)^(-1) € Q

ya demostramos arriba que   (bφ)^(-1) = b^(-1)φ   luego

aφ · b^(-1)φ  € Q

por ser φ un homomorfismo

aφ · b^(-1)φ = [a·b^(-1)]φ € Q

Como φ es un isomorfismo el isomorfismo inverso φ^(-1) transforma elementos de Q en elementos de H

{[a·b^(-1)]φ} φ^(-1) € H

a·b^(-1) € H

luego aH = bH

Resumiendo, hemos visto que si

(aH)α = (bH)α  ==> aH=bH

luego es inyectiva.

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Y queda por ver que es un epimorfismo:

Sea bQ € G/Q

sabemos que por ser φ un isomorfismo entre H y Q existe un a € H tal que

aφ = b

entonces por definición de la aplicación α

(aH)α = (aφ)Q = bQ

Luego toda imagen tiene un origen, es epimorfismo.

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Pues ya está todo. Hemos visto que

α: G/H ----> G/Q

Está bien definida, es homomorfismo, es monomorfismo y es epimorfismo, luego es un isomorfismo y por tanto G/H y G/Q son isomorfos.

Y ya está todo, salvo que ahora me doy cuenta que he escrito Q en vez de K. Como te corrigieron el K por QUE pensé que el grupo se llamaba Q y así seguí, si que me parecía raro Q para nombre de grupo pero no lo volví a mirar. Pues déjalo como está o cambia todas las Q por K, yo estoy ahora echando humo por la cabeza del trabajo y no puedo hacerlo.

Saludos.

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