¿Cómo demuestro este problema de divisibilidad?

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¡Hola Patito!

Usaremos la propiedad

Mcd(a, b) = mcd(a, b-na) siendo n cualquier número entero.

mcd[2n+1, (n(n+1)) / 2] =

Como el primer número es impar, multiplicamos el segundo por 2 ya que el mcd seguirá siendo el mismo

mcd[2n+1,   n(n+1)] =

i) Si n es par, n=2m

= mcd[4m+1,  2m(2m+1)] =

mcd[4m+1, 4m^2+2m] =

restamos m veces el primero al segundo

= mcd[4m+1,  m]

Restamos 4 veces el segundo al primero

=mcd[1, m] = 1

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ii)  Si n es impar, n = 2m+1

=mcd[2(2m+1)+1,  (2m+1)(2m+1+1)] =

mcd[4m+3, 4m^2 + 6m+ 2]=

restamos m veces el primero al segundo

= mcd[4m+3, 3m+2] =

restamos el segundo al primero

= mcd[m+1, 3m+2]=

restamos 2 veces el primero al segundo

= mcd[m+1, m]

restamos el segundo al primero

= mcd[1,m] = 1

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Luego en cualquiera de los casos el mcd es 1 y son coprimos.

Y eso es todo saludos.

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