1 Respuesta
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¡Hola German!
Se podrían tocar los pies los ingleses estos con sus medidas medievales.
Usaré pies y lbras
La fuerza de la gravedad en pies es
g = 32ft/s^2
Un pie tiene 12 pulgadas
1ft = 12in
Las fuerzas cuando se queda en reposo son
La gravedad
- mg = - 4lb · 32 ft/s^2 = - 128 lb·ft/s^2
La fuerza del muelle
F = -kx = -k(-0.25ft) = k·0.25ft
Y entre las dos deben sumar 0
k·0.25ft - 128 lb·ft/s^2= 0
k·0.25ft = 128 lb·ft/s^2
k = 512 lb/s^2
La ecuación diferencial será:
Sumatorio de fuerzas = ma
$$\begin{align}&-mg - ky = ma\\&\\&-g -\frac{k}{m}y = a\\&\\&\text{Como la aceleración es la derivada segunda de la posición}\\&\\&-g - \frac{k}{m}y = y''\\&\\&y''+\frac{k}{m}y = -g\\&\\&\text{Es una ecuación diferencial lineal con}\\&\text{coeficientes fijos. Su ecuación característica es}\\&\\&t^2+\frac km=0\\&\\&t^2=-\frac km\\&\\&t=\pm i \sqrt {\frac km}\\&\\&\text{La solución general de la homogénea es}\\&\\&y_{GH} = C_1cos\left(t \sqrt{\frac km} \right)+C_2sen\left(t \sqrt{\frac km} \right)\\&\\&\text{Como solución particular tomamos un constante C}\\&\\&\frac km C = -g\implies C= -\frac{mg}{k}\\&\\&\text{Y la solución general de la completa es}\\&\\&y = C_1cos\left(t \sqrt{\frac km} \right)+C_2sen\left(t \sqrt{\frac km} \right)-\frac{mg}{k}\\&\\&y(0) = -0.25ft\\&\\&-0.25 = C_1-\frac{mg}{k}\implies C_1=\frac{mg}{k}-0.25\\&\\&y'(0) = -\sqrt 2\\&\\&y' = -C_1 \sqrt{\frac km}sen\left(t \sqrt{\frac km} \right)+C_2 \sqrt{\frac km}\cos\left(t \sqrt{\frac km} \right)\\&\\&-\sqrt 2=C_2 \sqrt{\frac km}\\&\\&C_2=- \sqrt{\frac{2m}{k}}\\&\\&\text{Luego la ecuación de movimiento es}\\&\\&y(t)=\left(\frac {mg}{k}-0.25\right)\cos\left(t \sqrt{\frac km} \right)-\sqrt{\frac{2m}{k}}·sen\left(t \sqrt{\frac km} \right)-\frac{mg}{k}\\&\\&\text{Y sustituyendo los valores}\\&m=4\,lb\\&g=32\,ft/s^2\\&k=512\,lb/s^2\\&\\&y(t)=\left(\frac {4·32}{512}-0.25\right)\cos\left(t \sqrt{\frac {512}4} \right)-\sqrt{\frac{8}{512}}·sen\left(t \sqrt{\frac {512}4} \right)-\frac{4·32}{512}\\&\\&y(t) = 0·\cos\left(t \sqrt{\frac {512}4} \right)-\frac 18sen(8 \sqrt 2\,t)-\frac 14\\&\\&y(t)= -\frac 18sen(8 \sqrt 2\,t)-\frac 14\\&\\&\text{La amplitud es }\frac 18ft\\&\\&\text{El periodo es } T=\frac{2\pi}{8 \sqrt 2} = \frac{\sqrt 2 \;\pi}{8} s\\&\\&\text{La frecuencia es } f=\frac 1T =\frac{4 \sqrt 2}{\pi} s^{-1}\quad(ó \;Hz)\\&\\&\text{Vuelve a la posición de equilibrio a medio periodo }\\&\\&\frac T2= \frac{\sqrt 2 \;\pi}{4} s\\&\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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Buenas noches Profesor Valero.
Tengo una duda en el sistema Ingles el peso=libra fuerza, es necesario multiplicar las 4lb por 32.
"Se podrían tocar los pies los ingleses estos con sus medidas medievales."
jajajajajajajajaja.
¿Profe otra pregunta de que país es usted?
Si claro, el peso es la masa por la fuerza de la gravedad, ya hemos preparado la constante para que se refiera a pies entre segundos al cuadrado, al multiplicar por las libras tendremos el peso en libras por pies entre segundo al cuadrado y a esa media la llaman libra fuerza.
La auténtica constante de gravitación de ellos 32.1742 ft/s^2 que yo use antes la primera que me salió en un siti y estaba demasiado simplificada.
Soy de España.
