Este ejercicio me esta costando resolverlo

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¡Hola Mº Antonia!

Calcule donde se corta la parábola y= x^2-3x+3 y la recta y=x y halle el área del recinto limitado por ellas.

Sustituímos la y de la primera ecuación con la x que vale en la segunda

$$\begin{align}&x = x^2-3x+3\\&\\&x^2-4x+3=0\\&\\&\text{Se dactoriza de cabeza}\\&\\&(x-1)(x-3)=0\\&\\&\text{Luego los puntos de corte son}\\&\\&(1,1)\;  y\;(3,3)\\&\\&\text{La parábola es concava hacia abajo, estará}\\&\text{por debajo de una secante.  Por eso tomamos}\\&\text{como sustraendo la parábola}\\&\\&A=\int_1^3 (x-(x^2-3x+3))dx=\\&\\&\int_1^3(4x-x^2-3)dx=\\&\\&\left[2x^2-\frac{x^3}{3}-3x  \right]_1^3=18-9-9-2+\frac 13+3=\\&\\&1+\frac 13= \frac 43\end{align}$$

Y eso es todo, s a l u d o s.

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Hola Mª Antonia de Rojas!

Calculamos donde se cortan las dos funciones., resolviendo el sistema por igualación.

Si solamente tenemos dos puntos, quiere decir que solo hay un recinto, y esos puntos son los límites de integración.

Como es el área encerrada entre dos curvas se ha de hacer la integral de f-g

Da igual la que cojas primero, el área es el valor absoluto de esa integral.

De todos modos como la parábola es cóncava hacia arriba y lo otro es una recta, lo lógico es que la recta esté por encima.

$$\begin{align}&y=x^2-3x+3\\&y=x\\&\\&x^2-3x+3=x\\&\\&x^2-4x+3=0\\&\\&x=\frac{4 \pm \sqrt {4^2-12}}{2}=\frac{4 \pm 2}{2}=\\&x_1=3\\&x_2=1\\&\\&Area= \int_1^3 x-(x^2-3x+3)]dx=\\&\\&\int_1^3(-x^2+4x-3)dx= - \frac{x^3}{3}+2x^2-3x \Bigg |_1^3=\\&\\&=-\frac{3^3}{3}+2·3^2-3·3-(- \frac{1}{3}+2-3)=\\&\\&\frac{4}{3}  \ \ u^2\end{align}$$

Te pongo la gráfica,aunque no es necesaria:

Saludos

;)

;)