Hallar una función f que satisfaga la siguiente expresión
$$\begin{align}&\vec{\nabla f}= e^xcosy\check {i}-e^xseny\check{j}+z\check{k}\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Maar!
$$\begin{align}&\vec{\nabla f}= e^xcosy\,\vec {i}-e^xseny\,\vec{j}+z\,\vec{k}\\&\\&\text{Hay que integral cada componente respecto su variable}\\&\text{Y como constante de integración poner una función de}\\&\text{las otras dos variables}\\&\\&\frac{\partial f}{\partial x}= e^xcosy\implies f=\int e^x cosy\,dx+\varphi(y,z)\implies\\&f(x,y,z) = e^xcosy +\varphi(y,z)\\&\\&\frac{\partial f}{\partial y}=-e^xseny\implies f=\int-e^xseny+\alpha(x,z)\implies\\&f(x,y,z)=e^xcosy +\alpha(x,z)\\&\\&\frac{\partial f}{\partial z}=z\implies f=\int z dz+\beta(x,y)\implies\\&f(x,y,z)= \frac{z^2}{2}+\beta(x,y)\\&\\&\text{Las dos primeras parciales dan la misma información}\\&\text{A la forma que definen le sumamos la de la tercera}\\&\\&f(x,y,z)=e^xcosy + \frac {z^2}2\\&\\&\text{Y ya no hacen falta ma funciones de al guna variable}\\&\text{pero siempre se puede sumar una constante cualquiera}\\&\\&f(x,y,z)=e^xcosy + \frac {z^2}2 + C\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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