Álgebra abstracta... Duda sobre demostración de subgrupos normales!
Esperando su apoyo en este ejercicio... Gracias de antemano!
Sean H*, H y QUE subgrupos de G con H* normal en H. Muéstrese que H*∩ QUE es normal en H ∩ K.
1 respuesta
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¡Hola Zankass!
Sean H*, H y K subgrupos de G con H* normal en H. Muéstrese que H*∩ K es normal en H ∩ K.
La intersección de subgrupos siempre es un subgrupo, eso no creo que haga falta demostrarlo y si hace falta es bien sencillo.
No es vaciá porque siempre tendrá por lo menos el elemento neutro. Y si tomas una combinación ab^(-1) con a, b de S1 ∩ S2 como
a,b € S1 ==> ab^(-1) € S1
y como
a,b € S2 ==> ab^(-1) € S2
Luego ab^(-1) € S1∩S2
Y es un subgrupo.
Como H* incluido en H ==> H*∩K incluido en H∩K.
Y lo que falta es probar que es un subgrupo normal.
Sea n € H*∩K y sea h € H∩K
Si h € H*∩K ya está, los tres elementos de está operación son de H*∩K y por lo tanto
h^(-1)nh € H*∩K
Si h no pertenece a H*∩K, como tenemos que H* es normal en H se cumple
h^(-1)nh € H*
pero tanto h^(-1), como n, como h también son de K luego
h^(-1)nh € K
Luego
h^(-1)nh € H*∩K
Resumiendo, hemos tomado un elemento cualquiera n de H*∩K y otro elemento cualquiera h de H∩K y hemos visto que
h^(-1)nh € H*∩K
Luego H*∩Kes un subgrupo normal de H∩K
Y eso es todo, sa lu dos.
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