Hallar el valor de la ecuación
La suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x^2-2px+p^2-q^2=0 que son reales e iguales es :
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Mysica74!
En una ecuación:
x^2+bx+c=0
Se cumple que la sma de las raíces es (-b) el producto es c, como puedes comprobar aquí
$$\begin{align}&(x-r_1)(x-r_2) = x^2 - r_2x - r_1x +r_1r_2 = \\&x^2 - (r_1+r_2)x + r_1r_2\\&\\&\text{por lo tanto en la ecuación que nos dan}\\&\\&r_1+r_2 = 2p\\&\\&r_1r_2 = p^2 - q^2\\&\\&\text{Si elevamos la primera al cuadrado tendremos}\\&\\&r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2= 4p^2\\&\\&\text{si sustituimos el valor }r_1r_2=p^2-q^2\\&\\&r_1^2 + 2(p^2-q^2)+ r_2^2= 4p^2\\&\\&r_1^2 + r_2^2= 4p^2- 2(p^2-q^2)\\&\\&r_1^2 + r_2^2= 2p^2 +2q^2\\&\\&\text{Como nos dicen que son iguales}\\&2r_1^2= 2(p^2+q^2)\\&\\&r_1^2=p^2+q^2\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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