Un ejercicio sobre Producto directo y centralizadores.
Muestre que si Gi, para i=1,..., n son Grupos, entonces
Z(G1) x Z(G2) x ... Z(Gn) = Z(G1 x G2 x ... Gn)
'Z' Es el centralizador
'x' Es el producto directo de grupos.
1 respuesta
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¡Hola Luis!
El centralizador se refiere a un elemento o conjunto dentro de un grupo. En este caso ese conjunto sea el grupo completo se le llama centro del grupo, yo creo que era mejor decir:
Z es el centro
El centro de un grupo son los elementos que conmutan con todos
Z(Gi) = {x € Gi | xa=ax para todo a € Gi)
Sea x=(x1, x2, ....,xn) € Z(G1) x Z(G2) x ··· x Z(Gn)
Sea a=(a1, a2, ..., an) € G1 x G2 x ··· x Gn
xa = (x1·a1, x2·a2, ..., xn·an) =
como cada xi es del centro de su grupo conmuta con todo elemento de él
= (a1·x1, a2·x2, ...., an·xn) = xa
Luego
Z(G1) x Z(G2) x ··· x Z(Gn) incluido en Z(G1 x G2 x···x Gn)
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Sea x € Z(G1 x G2 x···x Gn)
para todo a=(a1, a2, ..., an) € G1 x G2 x···x Gn se cumple xa=ax, luego
(a1·x1, a2·x2, ..., an·xn) = (x1·a1, x2·a2, ..., xn·an)
tomando la igualdad por componentes
ai·xi = xi·ai para todo 1<=i<=n yse cual sea ai € Gi
luego xi € Z(Gi)
luego x=(x1, x2, ..., xn) € Z(G1) x Z(G2) x···x Z(Gn)
Por lo tanto Z(G1 x G2 x···x Gn) incluido en Z(G1) x Z(G2) x···x Z(Gn)
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Y ya hemos demostrado la inclusión de los conjuntos en los dos sentidos, luego son iguales.
Z(G1) x Z(G2) x ··· x Z(Gn) = Z(G1 x G2 x···x Gn)
Y eso es todo, saludos.
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