Halar el área situada a la derecha de x

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¡Hola Juan Manuel!

Haremos primero la integral indefinida y luego evaluamos la integral impropia, que si no es un lío.

$$\begin{align}&I=\int \frac{1}{x^2-1}dx =\\&\\&\text{factorizamos el denominador}\\&\\&=\int \frac{1}{(x+1)(x-1)}dx\\&\\&\text{y las fracciones parciales son}\\&\\&\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}= \frac{ax-a+bx+b}{(x+1)(x-1)}=\\&\\&\frac{(a+b)x+(-a+b)}{x^2+1}\\&\\&\text{eso debe ser lo mismo que el integrando luego}\\&\text{ el numerador tiene que ser}\\&\\&(a+b)x+(-a+b)=1\\&a+b=0\\&-a+b=1\\&2b=1\\&b=\frac 12\\&a=-\frac 12\\&\\&I=-\frac 12\int \frac{dx}{x+1}+ \frac 12\int \frac{dx}{x-1}=\\&\\&-\frac 12 ln|x+1|+\frac 12 ln|x-1| = ln \sqrt{\left|\frac{x-1}{x+1}  \right|}\\&\\&A=\lim _{K\to \infty}ln \sqrt{\left|\frac{x-1}{x+1}  \right|}\;\Bigg|_3^K=\\&\\&\lim _{K\to \infty}ln \sqrt{\left|\frac{K-1}{K+1}  \right|}- ln \sqrt \frac{3-1}{3+1}=\\&\\&\lim _{K\to \infty}ln \sqrt{\left|\frac{1-\frac 1K}{1+\frac 1K}  \right|}- ln \sqrt{\frac 12}=\\&\\&ln\;1- ln\,1+ln \sqrt 2= ln \sqrt 2\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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