¿Tengo una duda con ecuación diferencial?
Resolver
$$\begin{align}&\left(x\cdot y-x^2\right)\cdot \frac{dy}{dx}=y^2\end{align}$$la respuesta es
$$\begin{align}&y=c\cdot e^{\frac{y}{x}}\end{align}$$
2 respuestas
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¡Hola Matías!
Es una ecuación diferencial homogénea, saltan a la vista cinado todos los términos tienen el mismo grado al sumar los exponentes de x y y.
$$\begin{align}&(xy-x^2)\frac{dy}{dx}= y^2\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{xy-x^2}\\&\\&\text{Haces el cambio }\\&\\&y=ux\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u= \frac{u^2x^2}{xux-x^2}\\&\\&\frac{du}{dx}x+u= \frac{u^2}{u-1}\\&\\&\frac{du}{dx}x= \frac{u^2}{u-1}-u= \frac{u^2-u^2+u}{u-1}=\frac{u}{u-1}\\&\\&\frac{u-1}{u}du = \frac{dx}{x}\\&\\&\left(1-\frac 1u\right)du = \frac{dx}{x}\\&\\&u-lnu = lnx +lnC\\&\\&u = lnu+lnx+lnC\\&\\&u=ln (Cux)\\&\\&e^u = Cux\\&\\&e^\frac{y}{x}=C \frac yx·x\\&\\&e^{\frac yx}=Cy\\&\\&y= \frac 1Ce^{\frac yx}\\&\\&\text{Y llamando c a }\frac 1C\\&\\&y=ce^{\frac yx} \end{align}$$que es como lo tenías tú.
Y eso es todo, sa lu dos.
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Antes que nada muchas gra cías
Me gustaría saber cual es el método que usas para ver el grado igual de homogeneidad de los dos términos sin necesidad de aplicar la fórmula x.f'x(x;y)+y.f'y(x;y)... ¿sumas los exponentes de las variables de los dos términos y los comparas?
Desde ya gracias por la respuesta que me ahorraría tiempo en estas diferenciales
Una ecuación diferencial de primer orden se dice homogénea de grado o simplemente homogénea cuando puesta de la forma:
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\&\\&\text{se verifica}\\&\\&f(\lambda x, \lambda y)=f(x,y)\\&\\&\text{Y eso sucede con las funciones racionales}\\&\text{donde todos los termínos del numerador y}\\&\text{denominador tienen el mismo grado, entendiendo}\\&\text{por tal la suma de los grados de x y y}\\&\\&\text{La nuestra queda en}\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{xy-x^2}\\&\\&\text{racional con todos los términos de grado 2}\\&\\&f(\lambda x, \lambda y)=\frac{(\lambda x)^2}{(\lambda x)(\lambda y)-(\lambda x)^2}= \frac{\lambda^2x^2}{\lambda^2xy-\lambda^2x^2}=\\&\\&\frac{x^2}{xy-x^2}=f(x,y)\end{align}$$Luego es homogénea. Cuando haces unas pocas enseguida las distingues sin tener que llegar a hacer esta demostración.
Saludos.
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