Álgebra abstracta... Ejercicio sobre grupos abelianos que no son isomorfos entre ellos!

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¡Hola Zankass!

¡Madre mía 10800!

Bueno lo desomponemos en factores primos

10800 | 2

  5400 | 2

  2700 | 2

  1350 | 2

    675 | 3

   225 | 3

     75 | 3

     25 | 5

       5 | 5

      1

Luego 10800 = 2^4 · 3^3 · 5^2

Distribuiremos cada factor primo en producto de uno, dos o más factores, poniéndolos en orden de mayor a menor, y delante de cada uno de estos factores la Z y haciendo suma directa. Asi por ejemplo del 2^4 tendremos

Z16

Z2 + Z8

Z2 + Z2 + Z4

Z2 + Z2 + Z2 + Z2

Y lo mismo con 3 y el 5 y haciendo todas las combinaciones posibles entre ellos. Y luego la suma directa asi obtenida se simplifica teniendo en cuenta que si Zn y Zm son primos entre si n y m, entonces

Zn + Zm  ~ Znm

Los factores más altos irán en el último Z, los siguientes en el penúltimo etc. Por ejemplo:

Z2 + Z2 + Z2 + Z2 + Z3 + Z9 + Z5 + Z5   ~ 

Para el último reservamos los factores mayhores de cada primo, en este caso 2, 9 y 5 lo cual dará un Z(2·9·5) = Z90

Lo que queda ahora es

Z2 + Z2 + Z2 + Z3 + Z5

Reservamos los mayores para el penúltimo que son 2,3 y 5, luego el penúltimo será un Z30

Y queda

Z2 + Z2

que no se pueden mezclar i iran los dos primeros.  El grupo sisomorfo será

Z2 + Z2 + Z2 + Z2 + Z3 + Z9 + Z5 + Z5   ~   Z2 + Z2 + Z30 + Z90

Los grupos posibles son

Z16 + Z27 + Z25  ~   Z10800

Z16 + Z27 + Z5 + Z5   ~   Z5 + Z2160

Z16 + Z3 + Z9 + Z25  ~   Z3 + Z3600

Z16 + Z3 + Z9 + Z5 + Z5   ~  Z15 + Z720

Z16 + Z3 + Z3 + Z3 + Z25   ~   Z3 + Z3 + Z1200

Z16 + Z3 + Z3 + Z3 + Z5 + Z5  ~  Z3 +Z15 + Z240 

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Z2 + Z8 + Z27 + Z25  ~   Z2 + Z5400

Z2 + Z8 + Z27 + Z5 +Z5   ~  Z10 + Z1080

Z2 + Z8 + Z3 + Z9 + Z25    ~  Z6 + Z1800

Z2 + Z8 + Z3 + Z9 + Z5 + Z5   ~  Z30 + Z360

Z2 + Z8 + Z3 + Z3 + Z3 + Z25   ~  Z3 + Z6 + Z600

Z2 + Z8 + Z3 + Z3 + Z3 + Z5 + Z5  ~  Z3 + Z30 + Z120 

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Z2 + Z2 + Z4 + Z27 + Z25  ~   Z2 + Z2 + Z2700

Z2 + Z2 + Z4 + Z27 + Z5 +Z5   ~  Z2 + Z10 + Z540

Z2 + Z2 + Z4 + Z3 + Z9 + Z25    ~  Z2 + Z6 + Z900

Z2 + Z2 + Z4 + Z3 + Z9 + Z5 + Z5   ~  Z2 + Z30 + Z180

Z2 + Z2 + Z4 + Z3 + Z3 + Z3 + Z25   ~  Z6 + Z6 + Z300

Z2 + Z2 + Z4 + Z3 + Z3 + Z3 + Z5 + Z5  ~  Z6 + Z30 + Z60

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Z2 + Z2 + Z2 + Z2 + Z27 + Z25  ~   Z2 + Z2 + Z2 + Z1350

Z2 + Z2 + Z2 + Z2 + Z27 + Z5 + Z5   ~  Z2 + Z2 + Z10 + Z270

Z2 + Z2 + Z2 + Z2  + Z3 + Z9 + Z25    ~  Z2 + Z2 + Z6 + Z450

Z2 + Z2 + Z2 + Z2 + Z3 + Z9 + Z5 + Z5   ~  Z2 + Z2 + Z30 + Z90

Z2 + Z2 + Z2 + Z2 + Z3 + Z3 + Z3 + Z25   ~  Z2 + Z6 + Z6 + Z150

Z2 + Z2 + Z2 + Z2 + Z3 + Z3 + Z3 + Z5 + Z5  ~  Z2 + Z6 + Z30 + Z30

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Y eso es todo saludos.

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