Álgebra abstracta... Elementos de orden 18 en un grupo, si existen!
Gracias de antemano por todo su apoyo en este ejercicio...
¿Existen elementos de orden 18 en el grupo Z_4 por Z_12 por Z_9?, si la respuesta es afirmativa, ¿cuántos elementos existen?. ¿Estos elementos de orden 18 forman un subgrupo?, ¿Por qué?.
1 respuesta
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¡Hola Zankass!
Claro que existen y varios.
Consiste en obtener 18 como producto de divisores de los órdenes de los grupos Z_4 x Z_12 x Z_9
1, 2, 9
1, 6, 3
2, 1, 9
2, 3, 3
En cada grupo de divisores de esos hay que tomar el elemento o elementos del Zn correspondiente que tiene ese orden. Ojo, ese orden, no uno menor.
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Para 1,2,9 serán
{(0,6,1), (0,6,2), (0,6,4), (0,6,5), (0,6,7), (0,6,8)}
los que faltan tienen orden 6 o menor
Para 1,2,9 serán
{(0,2,3), (0,2,6), (0,10,3), (0,10,6)}
Para 2,1,9 serán
{(2,0,1), (2,0,2), (2,0,4), (2,0,5), (2,0,7), (2,0,8)}
Para 2,3,3 serán
{(2,4,3), (2,4,6), (2,8,3), (2,8,6)}
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Luego son 6+4+6+4= 20 elementos.
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No pueden formar un subgrupo porque no tiene elemento neutro, el elemento neutro tiene orden 1.
Y eso es todo, saludos.
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