Álgebra abstracta... Dudas sobre cuantas clases laterales tiene un subgrupo!
- ¿Cuántas clases laterales izquierdas tiene el subgrupo <15> de Z_900?
- ¿Cuántas clases laterales izquierdas tiene el subgrupo <1>x<0>x<1>x<2> de Z_4 x Z_75 x Z_3 x Z_12?.
1 Respuesta
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¡Hola Zankass!
El teorema de Lagrange dice que
|G| = [G:H] · |H|
Donde G es el grupo, H el subgrupo y [G:H] es el índice de H en G y es el número de clases laterales izquierdas (que es el mismo que las derechas)
Luego en nuestro caso será
900 = [Z_900 : <15>] · |<15>|
Veamos el orden de subgupo generado por el 15, será el número de veces que se debe sumar 15 para obtener 900
900/15 = 60
900 = [Z_900 : <15>] · 60
[Z_900 : <15>] =900 / 600 = 15
Luego las clases laterales izquierdas son 15
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Yo prefiero usar otra notación más limpia
<(1,0,1,2)> de Z_4 x Z_75 x Z_3 x Z_12
Veamos cual es el orden de cada componente en su Zi correspondiente
1 en Z4 tiene orden 4
0 en Z75 tiene orden 1
1 en Z3 tiene orden 3
3 en Z12 tiene orden 4
Y el orden de (1,0,1,2) es el mínimo común múltiplo de estos órdenes ya que cuando lo sumemos esas veces todas las componentes serán 0
mcm(4,1,3,4) = 12
Luego el orden es 12.
Y eso es todo, sa lu dos.
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