Álgebra abstracta... Dudas sobre subgrupo alternante y grupos cíclicos!

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¡Hola Zankass!

El grupo alternante es el que tiene las permutaciones de orden par que son siempre la mitad y el caso de S_4 tendremos

|A_4| = 24/2 = 12

Luego siendo un grupo de orden 12 es posible que tenga subgrupos de orden 6.

El grupo A_4 tiene productos de dos transposiciones disjuntas y ciclos de longitud 3, aparte del elemento neutro.

A_4= {e, (1,2)(3,4),  (1,3)(2,4),  (1,4)(2,3),

           (1,2,3), (1,3,2), (1,2,4), (1,4,2), (1,3,4), (1,4,3), (2,3,4), (2,4,3)}

Si tuviera un subgrupo de orden 6 por fuerza tendría un tres ciclo ya que entre los otros solo hay 4.

Pero si fuera solo un tres ciclo y su inverso el grupo sería

H = {e, (1,2)(3,4),  (1,3)(2,4),  (1,4)(2,3),  (1,2,3), (1,3,2)}

Que no es un subrupo ya que

(1,2)(3,4)·(1,2,3) = (1,3,4)  no pertenece a él

Entonces debería tener 3-ciclos con elementos distintos y sus inversos, ya tendríamos

H={e, (1,2,3), (1,3,2), (1,2,4), (1,4,2),...}

(1,2,3)·(1,2,4) = (2,3,4)

Luego habría que añadir el (2,3,4) y su inverso (2,4,3) y ya tenemos 7 elementos.

Luego no hay forma de conseguir un subgrupo de 6 elementos, con cero 3-ciclos no se llega a 6, con un 3-ciclo y su inverso lo que sale no es un grupo y con 2 o más 3-ciclos y sus inversos el subgrupo tiene más de 7 elementos.

Por lo tanto A_4 no tiene subgrupos de orden 6.

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Todos los grupos Zn son cíclicos, están generados por <1> y por cualquiera número que sea coprimo con n.

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Y eso es todo, saludos.

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{e, (1,2,3), (1,3,2)} no se llega a 6, debería tener otro 3-ciclo con un numero distinto, entonces

(1,2,3) (1,2,4) = (2,3,4)

con lo cual el subgrupo ya debe tener al menos

{(1,2,3), (1,3,2), (1,2,4), (1,4,2), (2,3,4), (2,4,3), e}

y ya se ha pasado de