Demostración de una función par
Una función de valor real definida sobre la recta de los reales se llama función par si f(-x)=f(x) para todo número real x. Demuestra que el conjunto de las funciones par definidas en la recta de los reales, con las operaciones de suma y multiplicación por escalares definidas de la forma usual, es un espacio vectorial
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¡Hola Danna!
Esta es la típica pregunta para demostrar por el teorema de caracterización de subespacios vectoriales, no para demostrar la quincena o mas de propiedades que debe cumplir el cuerpo y el espacio vectorial.
Entonces el punto de partida es que el conjunto de todas las funciones reales con las operaciones suma y producto por un escalar es un espacio vectorial.
Entonces un subconjunto no vacío será un susbespacio vectorial si cumple una o dos condiciones, que de las dos formas se presenta.
$$\begin{align}&1)\quad a f+bg\; \text{ es par para todas f, g pares y }a, b\in \mathbb R\\&\\&2)\quad i)\;\;\; f+g \text{ es par para todas f, g pares}\\&\qquad ii) \;af\;\text{ es par para toda f par y todo }a\in \mathbb R\\&\\&\text{Usaremos el primero}\\&\\&\text{Sean f, g pares y }a,b \in \mathbb R\\&\\&(af+bg)(x) = (af)(x) +(bg)(x)= af(x)+bg(x)=\\&\\&af(-x)+bg(-x)=(af)(-x)+(bg)(-x)=(af+bg)(-x)\\&\\&\text{Luego la función (af+bg) es par}\end{align}$$:
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