Algebra abstracta...dudas sobre el tema de los subgrupos normales de un grupo G!
Espero me puedan ayudar en este tema... Muchas gracias!
Si A es un subgrupo de B, B es un subgrupo de C, y los tres subgrupos A, B y C son subgrupos normales de un grupo G, ¿es B/A un subgrupo normal de C/A?, ¿es B/A un subgrupo normal de G/A?, ¿es C/A un subgrupo normal de G/A?
1 respuesta
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¡Hola Zankass!
Sea bA € B/A y sea cA € C/A
(cA)^(-1)·bA·cA = c^(-1)A·bA·cA = [c^(-1)·b·c]A
Como B es normal en G ==> c^(-1)·b·c € B ==>[c^(-1)·b·c]A € B/A
luego B/A es normal en C/A
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La demostración es casi igual a la de antes
Sea bA € B/A y sea gA € G/A
(gA)^(-1)·bA·gA = g^(-1)A·bA·gA = [g^(-1)·b·g]A
Como B es normal en G ==> g^(-1)·b·g € B ==>[g^(-1)·b·g]A € B/A
luego B/A es normal en G/A
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Y la tercera tres cuartos de lo mismo
Sea cA € C/A y sea gA € G/A
(gA)^(-1)·cA·gA = g^(-1)A·cA·gA = [g^(-1)·c·g]A
Como C es normal en G ==> g^(-1)·c·g € C ==>[g^(-1)·c·g]A € C/A
luego C/A es normal en G/A
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Y eso es todo, saludos.
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