Clasificar si es transformación lineal o no lineal
$$\begin{align}&a) T: R^2 →R^2, T(a_1, a_2 ) = (a_1cos𝜃 - a_2sen 𝜃, a_1sen𝜃+ a_2cos𝜃), con 0 ≤ 𝜃<2 π\\&\\&b) T: R^2 →R^2, T(a1, a2 ) = (sen a1, 0)\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Danna!
a) Por supuesto que el angulo theta no nos lo dan en concreto pero es fijo.
$$\begin{align}&T[(a_1,a_2)+(b_1,b_2)] =T(a_1+b_1,a_2+b_2)=\\&((a_1+b_1)\cos𝜃 - (a_2+b_2)sen 𝜃,\; (a_1+b_1)sen𝜃+ (a_2+b_2)\cos𝜃)\\&\\&T(a_1,a_2)+T(b_1,b_2)=\\&(a_1cos𝜃 - a_2sen 𝜃, a_1sen𝜃+ a_2cos𝜃)+\\&(b_1cos𝜃 - b_2sen 𝜃, b_1sen𝜃+ b_2cos𝜃)=\\&((a_1+b_1)\cos𝜃 - (a_2+b_2)sen 𝜃,\; (a_1+b_1)sen𝜃+ (a_2+b_2)\cos𝜃)\\&\\&\\&T[\alpha(a_1,a_2)] = T(\alpha a_1+\alpha a_2)=\\&(\alpha a_1 \cos 𝜃 - \alpha a_2\,sen 𝜃,\; \alpha a_1sen \,𝜃+ \alpha a_2 \cos 𝜃)\\&\\&\alpha·T(a_1,a_2)= \alpha(a_1cos𝜃 - a_2sen 𝜃, a_1sen𝜃+ a_2cos𝜃)=\\&(\alpha a_1 \cos 𝜃 - \alpha a_2\,sen 𝜃,\; \alpha a_1sen \,𝜃+ \alpha a_2 \cos 𝜃)\\&\\&\text{Luego es una transformación lineal}\\&\\&·\\&\\&b)\text{ NO LO ES, un contraejemplo}\\&\\&T\left[\left(\frac \pi 2,0\right)+\left(\frac \pi 2,0\right)\right]=T\left(\pi,0\right) =(sen\pi,0)=(0,0)\\&\\&T\left(\frac \pi 2,0\right)+T\left(\frac \pi 2,0\right)=\left(sen \frac \pi 2,0\right)+\left(sen \frac \pi 2,0\right)=(1,0)+(1,0)=(2,0)\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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