¿Alguien me puede demostrar este ejercicio?

·

·

¡Hola Andrew!

Cuando tomamos un numero racional m/n  con m y n primos entre si, solo será un número decimal exacto si los factores primos de n son 2 y/o 5

En este caso vamos a ver que el número fraccinal irreducible tiene un factor primo 3

$$\begin{align}&\frac 1n+\frac 1{n+1}+\frac{1}{n+2}=\\&\\&\frac{(n+1)(n+2)+n(n+2)+n(n+1)}{n(n+1)(n+2)}=\\&\\&\frac{n^2+3n+2+n^2+2n+n^2+n}{n(n+1)(n+2)}=\\&\\&\frac{3n^2+6n+2}{n(n+1)(n+2)}\\&\\&\text{El numerador no es múltiplo de 3, le falta justo una unidad}\\&\text{para serlo.  Y el denominador si es múltiplo de 3, ya que}\\&\text{entre tres números naturales seguidos uno de ellos es}\\&\text{por fuerza múltiplo de 3}\\&\\&\end{align}$$

Luego se dan las condiciones que decía al principio para que esa suma no sea un número decimal exacto.

Y eso es todo, sa lu dos.

:

:

;)
En un decimal exacto el denominador de la fracción simplificada sólo contiene factores de 2 o 5 y si sumas esas tres fracciones te acaba dando:

$$\begin{align}&\frac{3n^2+6n+2}{n(n+1)(n+2)}\end{align}$$

donde tres números naturales consecutivos siempre contiene un factor distinto de 2 o 5

Saludos

;)

;)