Calculo de derivadas parciales con aplicaciones económicas
Dada la función donde QUE es el capital y L el trabajo
$$\begin{align}&Q=10k^{\frac{1}{3}}l^{\frac{2}{3}}\end{align}$$b)si el gasto de los factores es de 500 u.m y sus precios son pk=10 y pL=20. Hallar las cantidades de factores a combinar para que sean iguales las productividades marginales(a partir de ahora pmg).
la rspta por si la precisan seria
para K=10 y L=20 pmgK(10;20)=pmgL(10;20) = (10*4^(1/3))/3 =5,2913
por si no se entendió bien
$$\begin{align}&\frac{\left(10\sqrt[3]{4}\right)}{3}=5,2913\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Matías!
No nos dices lo que es la función Q, pero se supone que será la productividad ya que la mencionas después. Y las productividades marginales imagino que serán las derivadas parciales, entonces:
$$\begin{align}&Q=10k^{\frac 13}l^{\frac 23}\\&\\&Q_k=\frac 13k^{-\frac 23}l^{\frac 23}\\&\\&Q_l= \frac 23k^{\frac 13}·l^{-\frac 13}\\&\\&\text {entonces imagino que quieren que}\\&\\&\frac 13k^{-\frac 23}l^{\frac 23} =\frac 23k^{\frac 13}·l^{-\frac 13}\\&\\&\text{que simplifcado queda solo en esto}\\&\\&l =2k\\&\\&\text{siendo que el precio de todos los factores}\\&\text{(vaya nombre más engañoso) será}\\&\\&10k+20l=500\\&\\&\text{Luego sustituyendo la l de arriba}\\&\\&10k+20·2k = 500\\&\\&50 k = 500\\&\\&k=10\\&\\&l= 2k = 2·10 = 20\\&\\&\text{Luego son 10 factores de capital y 20 de trabajo}\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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