Resolver la siguiente inecuación y compruebe su solución:

;)
Hola Fabiancho!
Las inecuaciones con fracciones son más fáciles de hacer si en el segundo miembro tenemos un 0, ya que entonces solo se trata de estudiar el signo de la fracción:

$$\begin{align}&\frac{x^2-6x+9}{x+3}-3 \leq 0\\&\\&\frac{x^2-3x+9-3x-9 }{x+3} \leq 0\\&\\&\frac{x^2-6x}{x+3} \leq0\\&\\&\frac{x(x-6)}{x+3} \leq 0\\&\\&\\&F=\frac{x(x-6)}{x+3}\end{align}$$

para estudiar el signo de la fracción, se buscan las raices del numerador y denominador (los valores de x que los hacen 0) y

Se ordenan de menor mayor, quedando la recta real dividida en intervalos.

Para saber los intervalos solución se sustituye un valor de dentro del intervalo en la fracción y se busca el signo:

$$\begin{align}&raices \ numerador:\\&x^2-6x=0\\&x=0\\&x=6\\&raíces \ denominador\\&x+3=0\\&x=-3\\&\\&Ordenamos:\\&-3,0,6\\&tres raíces \Rightarrow cuatro \ intervalos:\\&(- \infty,-3) \Rightarrow F(-10)=\frac{-10(-16)}{-7}=- <0 \Rightarrow SI\\&\\&(-3,0) \Rightarrow F(-1)=\frac{-1(-7)}{2}=+ >0 \Rightarrow NO\\&\\&(0,6) \Rightarrow F((1)=\frac{1(-5)}{4}<0 \Rightarrow SI\\&\\&(6, + \infty) \Rightarrow F(10)=\frac{10(4)}{13} >0 \Rightarrow NO\\&\\&SOLUCION=(- \infty,-3) \cup [0,6 ]\end{align}$$

A parte de eso has de saber que las raíces del denominador no se pueden incluir en la solución, ya que una fracción  no es calculable cuando el denominador vale 0. Por eso el primer intervalo es abierto (- infinito, -3)

y el segundo es cerrado [0,6]

Saludos

;)

;)