Buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden

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Hola Fernanda. El día que resolví este ejercicio juré que ya no contaran más conmigo los paracaidistas para calcularles la caída, que si se estrellaran contra el suelo, allá ellos.

Te doy en enlace a la respuesta que di, cambiando los datos que sean necesarios obtendrás la respuesta. Tendrías a lo mejor que leerlo todo para entenderlo, pero la respuesta buena está en la parte final, donde dice "Voy a empezar de nuevo" ya que al principio me equivoqué una o dos veces. No olvides volver después para valorar la respuesta.

http://www.todoexpertos.com/preguntas/6qypm5idfbuoxoxf/problema-de-paracaidista-ecuaciones-diferenciales?selectedanswerid=6qyv8ljiyjvruj36&utm_source=facebook&utm_medium=share_fb_button&utm_campaign=usershare&shareid=6a9eb33741ef8090 

Y eso es todo, sa lu dos.

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Voy a calcular la respuesta de acuerdo con las fórmulas que deduje en su momento. Tampoco hay que dejar las cosas abandonadas del todo porque se olvidan.

Llegaba a la conclusión de que las funciones de posición y velocidad eran estas:

$$\begin{align}&y(t)=\frac mk\left(v_0+\frac{gm}k  \right)\left( 1-e^{-\frac{k\,t}{m}} \right)-\frac{gmt}{k}+y_0\\&\\&v(t)=\left(v_0+\frac{gm}k  \right) e^{-\frac{k\,t}{m}}-\frac{gm}{k}\\&\\&\text{Y los datos para el vuelo si}\text{n paracaidas son:}\\&\\&t=60s,\; k=15,\;m=75kg,\;g=9.81,\;y_0=4000, \;v_0=0\\&\\&y(60)=\frac {75}{15}\left(0+\frac{9.81·75}{15}  \right)\left( 1-e^{-\frac{15\,·\;60}{75}} \right)-\frac{9.81·75·60}{15}+4000=\\&\\&241.25(1-e^{-12})-2943+4000\approx 1298.248518 m\\&\\&v(60)=\left(0+\frac{9.81·75}{15}  \right) e^{-\frac{15\,·\;60}{75}}-\frac{9.81·75}{15}=\\&\\&49.05e^{-12}-49.05\approx -49.04969863 m/s\\&\\&\text{Y tras esto caerá con la misma función pero cambiando}\\&k=105\\&y_0=1298.248518 m\\&v_0=-49.04969863 m/s\\&\text{hasta llegar al suelo donde }y(t)=0\\&\\&0=\frac {75}{105}\left(-49.04969863+\frac{9.81·75}{105}  \right)\left( 1-e^{-\frac{105\,t}{75}} \right)-\frac{9.81·75·t}{105}+1298.248518\\&\\&0=-30.03039698\left( 1-e^{-1.4t} \right)-7.007142857t+1298.248518\\&\\&0=1268.218121 -7.007142857t +30.03039698e^{-1.4t}\\&\\&7.007142857t -30.03039698e^{-1.4t}=1268.218121 \\&\\&\text{fijémonos que el  término con e tiende muy rápido a 0 nada}\\&\text{más que t sea un poquito grande, vamos a despreciarlo}\\&\\&7.007142857t =1268.218121 \\&\\&t = 180.9893343s\\&\\&\text{A los que hay que sumar los 60 de antes}\\&Tiempo=240.9893343s\\&\\&\\&\text{Y la velocidad de llegada es}\\&\\&v(180.9893343)=\left(-49.04969863+\frac{9.81·75}{105}  \right) e^{-\frac{105\,·\;180.9893343}{75}}-\frac{9.81·75}{105}=\\&\\&-42.04255577e^{-253.385068}-7.007142857=\\&\\&0-7.007142857 = 7.007142857 m/s\\&\end{align}$$

Y ha estado bien que lo haya hecho porque he visto que la vez anterior cometí un fallo en el cálculo de la velocidad de llegada.

Y eso es todo, sa lu dos.

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Hola Fernanda!

Solo nos interesa el momento en que la paracaidista toca el suelo, no el lugar. Así sólo consideramos la componente vertical de su descenso. Para eso necesitaremos dos ecuaciones una para describir el movimiento antes de abrir el paracaidas y la otra para después.

Antes:

$$\begin{align}&v_0=0\\&m=75 kk\\&k_1=15\\&g=9.81\\&\\&Sea \\&y_1(t) \ la distancia \ caida \ en \ t \ segundos \ \  t<60\\&\\&v_1=\frac{dy_1}{dt}\\&\\&Las \ fuerzas \ que \ actuan \ sobre \ la \ paracaidista \ son:\\&F_1=mg\\&F_2=-kv\\&donde \ el \ signo \ menos \ es \ porque \ la \ resistencia \ del \ aire \ actua\\&en \ forma \ opuesta \ al \ movimiento\\& Fuerza \ total\\&F=F_1+F_2=mg-k_1v\\&\\&2ª Ley \ NEWTON:\\& m \frac{dv}{dt}=mg-k_1v \ \ \; \ ;  v(0)=v_0 \ donde g i \ k_1 \ son \ positivas\\&\\&Separación \ de \ variables:\\&\\&\frac{dv}{mg-k_1v}=\frac{dt}{m}\\&\\&\int \frac{dv}{mg-k_1v}=\int \frac{dt}{m}\\&\\&\frac{-1}{k_1}ln|mg-k_1v|=\frac{t}{m}+C\\&\\&|mg-k_1v|=e^{-k_1C}·e^{\frac{-K_1t}{m}}\\&o \ bien:\\&mg-k_1v=Ae^{\frac{-K_1t}{m}}\\&\\&despejando\\&\\&v=\frac{mg}{k_1}-\frac{A}{k_1}e^{\frac{-K_1t}{m}}\\&v(0)=v_0\\&\\&v_0=\frac{mg}{k_1}-\frac{A}{k_1}\\&\\&A=k_1(\frac{mg}{k_1-v_0})\\&\\&v(t)=\frac{mg}{k_1}-\frac{A}{k_1}e^{\frac{-K_1t}{m}}=\frac{mg}{k_1}-(\frac{mg}{k_1}-v_0)e^{\frac{-K_1t}{m}}\\&\\&v(0)=0\\&\\&v(t)=\frac{mg}{k_1}(1-e^{\frac{-K_1t}{m}})\\&\\&Considerando\\&y(0)=0\\&\\&y(t) =\int v(t) dt=\frac{mg}{k_1}t-\frac{m}{k_1}(v_0-\frac{mg}{k_1})e^{\frac{-K_1t}{m}}+C\\&\\&y(0)=0\\&0=-\frac{m}{k_1}(v_0-\frac{mg}{k_1})+C\\&\\&C=\frac{m}{k_1}(v_0-\frac{mg}{k_1})\\&\\&Luego \ ecuación \ movimiento:\\&y(t)=\frac{mg}{k_1}+\frac{m}{k_1}(v_0-\frac{mg}{k_1})(1-e^{\frac{-K_1t}{m}})=\\&v_0=0\\&y(t)=\frac{mg}{k_1}t-\frac{m^2g}{k_1^2}(1-e^{\frac{-K_1t}{m}})\\&\\&sustituyendo \ valores\\&v_1(t)=\frac{75·9.81}{15}(1-e^{\frac{-15t}{75}})=(49.05)(1-e^{-0.2t})\\&\\&v_1(60) \simeq49.05 \  \  m/s\\&\\&y_1(t)=\frac{75·9.81}{15}t- \frac{75^2·9.81}{15^2}(1-e^{-0.2t})\\&\\&y_1(t)=49.05t-242.25(1-e^{-0.2t})\\&\\&y_1(60)=\simeq 2697.75 \ m\\&\\&DESPUES  \ \ de \ abrir\ paracaidas:\\&Se encuentra \ a 4000-2697.75=1302.25 \ m\\&y  \ va \ a \ 49.05  \ \ m/s.\\&La \ ecuación \ movimiento\\& y_2(T)\\&donde\\&T=t-60\\&hago\\&y_2(0)=0 \ \ en y_1(60)\\&y \ la \ velocidad\\&y_2'(0)=y_1'(60)=49.05 \ \ m/s\\&\end{align}$$

como las fuerzas que actuan son las mismas, la ecuación del movimiento es igual, con

$$\begin{align}&v_0=49.05 \m/s\\&m=75 \ kg\\&k_2=105\\&\\&y_2(T)=\frac{75·9.81}{105}T+\frac{75}{105} \Big[49.05-\frac{75·9.81}{105} \Big](1-e^{\frac{-105t}{75}})=\\&\\&7.01T+30.3(1-e^{-1.4T})\\&\\&Llega \ al\ suelo \ cuando\\&y_2(T)=1302.25=7.01T+30.3(1-e^{-1.4T})\\&\\&T-4.28 e^{-1.4T}-181.49=0\end{align}$$

No se puede despejar T explícitamente, pero para T=181.49, el término exponencial es casi 0

luego 

T=181.49 seg

tiempo total=60+1819=241.49 seg

La velocidad en el momento del impacto, y teniendo en cuenta que el término exponencial

e^(-1.4T) pue despreciarse

$$\begin{align}&v=\frac{mg}{k_2}=\frac{75·9.81}{105} \simeq 7.01 \ \  m/s\end{align}$$

Saludos

;)

;)

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Comparto la opinión del profesor Valero

Una y no más