¿Cuál es mi situación legal si he trabajado 1mes, sin firmar contrato, y quieren echarme por no superar el periodo de prueba?

El pasado 02/06/16 empezaba un trabajo de 20h/mes en jornada laboral de 14 a 19h. Se tramitó mi alta en la Seguridad Social el mismo día.

El contrato me lo enviaron días después, por e-mail, para devolverlo firmado. Este se rige según un convenio colectivo propio de la empresa contratante.

En el contrato se especifica que se me contrata como "guía" de un equipamiento cultural específico. Pero luego en las tareas se dice que la tarea a desempeñar es "informar sobre accesos". Les mandé un mail diciendo que la tarea que estaba desempeñando en el trabajo, por lo que se me contrató y lo que dice el anuncio de oferta de empleo es " realizar visitas guiadas al equipamiento" y también, como se dijo en la entrevista: "venta de tíquets para las mismas". Días más tarde sólo contestaron que añadir "venta de tíquets" implicaría un cambio de categoría, sin decir nada respecto a la tarea de guía. Con todo pasaron tres semanas. Durante la cuarta semana de trabajo, seguí trabajando sin firmar, mientras meditaba mi reacción. Y hemos llegado a final de mes.

En el contrato sin firmar se especifica un mes de prueba.

El pasado 01/07/16 me llamaron para decirme que no superó el periodo de prueba por no cumplir horarios.

Mi jornada de trabajo es de 14 a 19h. Y con eso he cumplido. Excepto por dos retrasos, de menos de 5min un día y otro de entre 10 y 15min. Hay un registro de hora de entrada y salida, diário, dónde todos los trabajadores firmamos.

Alegan que se pidió llegar 15 min antes, para asegurar que todos llegábamos a tiempo para el servicio que empezaba a las 14h.

Tengo entendido que esos 15 minutos no me los pueden exigir, pues están fuera de la jornada laboral. Aunque tal vez esté escrito en un documento de principios/filosofía de la empresa, ¿no? Algunos de mis compañeros mostraron su disconformidad, pero han cumplido con llegar 15min antes, a pesar de que se nos dijo que no eran remunerados.

Todavía 03/07/16 (domingo) no he recibido mensaje de la TGSS, conforme ya hayan tramitado mi baja. Pero si que enviaron un mail (01/07/16) diciendo que no superaba el periodo de prueba. Sin especificar la razón que me dieron verbalmente por teléfono.

Y me han convocado en los próximos días para entregarme los documentos relativos a mi baja.

PREGUNTAS:

Puesto que el contrato no ha sido firmado, no sé si se dá por asimido, igualmente el periodo de prueba. ¿Pueden despedirme así o puedo seguir trabajando?

¿En un despido por no superar el periodo de prueba debe especificarse la razón? ¿Puedo pedirles/exigirles qué la especifiquen por escrito?

¿Me equivoco y estaba obligada a presentarme a trabajar 15min antes? ¿O tienen razón y he incumplido mis obligaciones y por tanto el despido es lícito?

¿Pueden darme de baja sin que yo dé mi conformidad (firmándo lo que corresponda)?

¿Puedo reclamar la situación de algún modo? ¿Cómo?