Para la función dada determine el respectivo dominio y rango:

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¡Hola Fabiancho!

El dominio es sencillo, solo tiene que ser el radicando positivo, nulo no puede ser ya que el denominador sería nulo.

x-8>0

x>8

Dom f = (8, infinito)

Con el rango habrá que sudar un poco, hay que calcular el dominio de la función inversa

$$\begin{align}&y = \frac{x+9}{\sqrt{x-8}}\\&\\&\text{tenemos que despejar x}\\&\\&y \sqrt{x-8}= x+9\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&y^2(x-8) = x^2+18x+81\\&\\&x^2+(18-y^2)x+81+8y^2=0\\&\\&x= \frac{y^2-8\pm \sqrt{(18-y^2)^2-4(81+8y^2)}}{2}\\&\\&\text{Estará definida cuando el determinante sea no negativo}\\&\\&324-36y^2+y^4-324-32y^2\ge0\\&\\&y^4-68y^2\ge0\\&\\&y^2-68 \ge0\\&\\&y^2\ge 68\\&\\&|y| \ge \sqrt {68}\\&\\&\text{Pero siempre que se eleva al cuadrado  para solucionar}\\&\text{una ecuación pueden aparecer respuestas fantasma}\\&\\&\text {Si y es negativa}\\&\\&y = \frac{x+9}{\sqrt{x-8}}\le 0\implies x+9\le 0\implies x\le-9\\&\\&\text{pero entonces}\\&\\&x-8\le-9-8=-17\\&\\&\text{con lo que no está definida }\sqrt{x-8}\\&\\&\text{luego }y \ge \sqrt {68}\\&\\&Rango f=Dom f^{-1}= [\sqrt {68},\infty)\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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Hola fabiancho!

La contesté en el siguiente enlace

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Saludos

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