Dos problemas de áreas (Series Numéricas)
Problemas de área de la porción sombreada de un cuadrado y suma de las áreas de triangulo dentro de otro:
2 Respuestas
;)
Hola Maar Hammett!
25.-
Si el lado del triángulo inicial mide L, por el teorema de la paralela media, el triángulo inscrito su lado (l) mide la mitad. Luego la razón de proporcionalidad es:
l/L=1/2=k
Luego la razón de proporcionalidad entre las áreas
a/A=k^2
$$\begin{align}&k=\frac{l}{L}=\frac{1}{2}\\&\\&áreas:\\&\\&\frac{a}{A}=k^2=\frac{1}{4}\\&\\&Sucesión \ de \ áreas:\\&\\&1,\frac{1}{4}, \frac{1}{4^2}, \frac{1}{4^3}, \frac{1}{4^4}··········\end{align}$$Progresión geométrica decreciente( r<1). Luego si se puede calcular la suma de los infinitos términos con la fórmula:
$$\begin{align}&S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3} \ \ u^2\end{align}$$saludos
;)
;)
;)
1.-
Las cuentas son muy parecidas que en el 2º
Si el área inicial es 1, el lado del cuadrado grande es 1.
La parte sombreada este cuadrado es 4/16=1/4.
El cuadrado siguiente tiene de lado 2/4de 1= 1/2. Su parte sombreada también es la cuarta parte:
$$\begin{align}&A_1=\frac{1}{4} \ u^2\\&\\&A_2=\frac{1}{4}(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4^2}\\&\\&A_3= \frac{1}{4}(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{4^3}\\&\\&A_4=\frac{1}{4}(\frac{1}{8})^2=\frac{1}{256}=\frac{1}{4^4}\end{align}$$progresión geométrica decreciente de razón r=1/4, y A_1=1/4
$$\begin{align}&\S_{\infty}= \frac{a_1}{1-r}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} \ u^2\end{align}$$saludos
;)
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¡Hola Maar!
24)
EL cuadrado se divide en 16 partes y nosotros tenemos sombreados 4 cuadraditos, luego el área de los sombreados más grandes es
4/16 = 1/4
Si ahora tomamos el cuadrado siguiente de dentro tenemos 4 cuadraditos de los cuales la cuarta parte es negro, luego el área de esos siguientes es
1/4 · 1/4 =1/ 16
Y así sucesivamente, en cada paso el área es 4 veces menor que la anterior, luego tenemos esta suma
$$\begin{align}&S= \frac 14+\frac 1{16}+\frac{1}{64}+ \frac 1{256}+....\\&\\&\text{Es la suma de una sucesión geométrica}\\&\\&S=\frac{a_1}{1-r}= \frac{\frac 14}{1-\frac 14}=\frac{\frac 14}{\frac 34}=\frac 13\end{align}$$·
25)
Cuando tu haces el dibujo de eso te queda claro que el triángulo que has inscrito mide de área la cuarta parte del triángulo original porque se forman cuatro cuadrados iguales dentro. Luego cada vez que hagas una iteración el área se divide entre 4 y la suma es.
$$\begin{align}&A=\frac 14+\frac 1{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+...\\&\\&\text{Y por la fórmula de la suma infinita de una}\\&\text{sucesión geomñetrica}\\&\\&S_{\infty}= \frac{a_1}{1-r}\\&\\&A= \frac{\frac 14}{1-\frac 14}= \frac{\frac 14}{\frac 34}=\frac 13\end{align}$$No está claro si el primero entra o no entra, si entrara sería
A = 1 + 1/ 3 = 4/3
Y eso es todo, sa lu dos.
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