Calcular el área limitada por dos parábolas de eje horizontal

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¡Hola Maar!

Como complemento a la respuesta de Lucas, también se puede como funciones de la variable y

Primero calculamos los puntos y de corte:

8(x+2) = 32(8-x)

8x + 16 = 256-32x

40x = 240

x= 6

y^2 = 8(6+2) = 8^2

y = +- 8

Ahora ponemos las funciones en función de y

$$\begin{align}&y^2 = 8(x+2) \\& y^2 = 8x + 16 \\&8x=y^2-16\\&x = \frac{y^2}8-2\\&\\&\\&y^2=32(8-x)\\&y^2=256-32x\\&32x=256-y^2\\&x=8-\frac {y^2}{32}\\&\\&\text{Para un punto dentro del intervalo}\\&\text{y=0 por ejemplo, la segunda es mayor}\\&\\&A=\int_{-8}^8\left(8-\frac{y^2}{32}-\frac {y^2}8+2  \right)dy=\\&\\&\int_{-8}^8\left(10-\frac{5y^2}{32}  \right)dy=\\&\\&\left[10y-\frac {5y^3}{96}  \right]_{-8}^8=\\&\\&80-\frac{2560}{96}+80-\frac{2560}{96}=\\&\\&160-\frac{2560}{48}= 160-\frac{160}{3}=\frac{320}{3}\\&\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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Hola Maar Hammett!
Son dos parábolas horizontales, abiertas una hacia la izquierda y otra hacia la derecha.

Hemos de encontrar donde se cortan.

También hemos de encontrar donde corta cada una con el eje X.

Finalmente la zona es totalmente simétrica respecto el eje X y^2=(-y)^2, con lo cual calcularé la parte superior:

Punto de corte de las dos parábolas:

$$\begin{align}&8(x+2)=32(8-x)\\&\\&40x=240\\&\\&x=6\\&\\&Corte \ con \ el \ eje X \ de  \ las \ parábolas:\\&\\&y=0\\&8(x+2)=0 \Rightarrow x=-2\\&\\&32(8-x)=0 \rightarrow x=8\\&\\&\\&A= \int_{-2}^6 \sqrt{8x+16} \ dx + \int_6^8 \sqrt{256-32x} \ dx=\\&\\&\frac{(8x+16)^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}·8} \Bigg |_{-2}^6+ \frac{(256-32x)^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}(-32)} \Bigg|_6^8=\\&\\&\\&\frac{1}{12} \Big[ (64)^\frac{3}{2}-0 \Big]+ \frac{1}{-48} \Big[0-(64)^\frac{3}{2} \Big]=\\&\\&\frac{1}{12}512+\frac{1}{48} 512=\frac{128}{3}+ \frac{32}{3}= \frac{160}{3}\\&\\&\\&A_{total}=\frac{320}{3} \ \ u^2\end{align}$$

Saludos

;)

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