Como Hallar la longitud de la curva calculo
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2 respuestas
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola Esneider Castaño!
En España ln es logaritmo neperiano
La función es y=ln|cosx|
La fórmula para calcular eso, es:
$$\begin{align}&L=\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} \ dx=\\&\\&\int_{\pi/6}^{\pi/3} \sqrt {1+ \Bigg(\frac{-senx}{cosx} \Bigg)^2} \ dx=\\&\\&\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt{1+tan^2(x)} \ dx=\\&\\&\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt{sec^2x}\ dx=\\&\\&\int_{\pi/6}^{\pi/3}sec(x)dx=\\&\\&ln|secx+tanx| \Bigg|_{\pi/6}^{\pi/3}=\\&\\&ln(sec \frac{\pi}{3}+tan \frac{\pi}{3})-ln(sec \frac{\pi}{6}+tan \frac{\pi}{6})=\\&\\&\simeq 0.767651\\&\\&\end{align}$$La integral de la secante la obtienes de una tabla. Yo me la sé como inmediata,pero el cálculo es complejo. La puedes buscar en Todoexpertos, resuelta por el profesor Valero
Saludos
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Esneider!
La fórmula para la longitud de un arco es:
$$\begin{align}&l=\int_z^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx\\&\\&\text{puedes calcular y' despejando y o por }\\&\text{por derivación implícita}\\&\\&-senx=e^y·y'\\&\\&y'=\frac{-sen\,x}{e^y}=-\frac{senx}{\cos x}=-tg\,x\\&\\&l=\int _{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt {1+tg^2x}dx=\\&\\&\int _{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt {sec^2x}dx=\\&\\&=\int _{\pi/6}^{\pi/3}secx dx=\\&\\&\text{uso un resultado ya sabido}\\&\\&ln|secx+tg\,x|\bigg|_{\pi/6}^{\pi/3}=\\&\\&ln\left|2+\frac{\frac{\sqrt 3}{2}}{\frac 12} \right|-ln\left|\frac{2}{\sqrt 3}+\frac{\frac 12}{\frac{\sqrt 3}{2}} \right|=\\&\\&ln\left|2+\sqrt 3 \right|-ln\left|\frac{2}{\sqrt 3}+\frac{1}{\sqrt 3} \right|=\\&\\&ln\left|2+\sqrt 3 \right|-ln\left|\frac{3}{\sqrt 3} \right|=\\&\\&ln\left(2+\sqrt 3 \right)-ln \sqrt 3\end{align}$$Y aquí te dejo la integral de la secante, que no es una integral ni mucho menos inmediata.
¿Cómo resolver la integral? Con procedimiento
Y eso es todo, sa lu dos.
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