Resolver este problema de transformaciones lineales

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¡Hola Luis!

Hay que mandar un ejercicio en cada pregunta, así la recompensa es doble, y no quiero renunciar a ella.

El núcleo de la transformación son los elementos del conjunto origen cuya imagen es el vector nulo.

N(T) = {(x,y,z) de R3 | T(x,y,z)=(0 ,0)}

(x-y-z , 2x-y-z) = (0, 0)

esto equivale a este sistema de ecuaciones

x - y - z = 0

2x - y - z = 0

Si restamos la primera a la segunda quedará

x=0

y después

-y - z = 0

-y = z

Luego tendremos

N(T) = {(0, y, -y)  | y de R}

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Y la imagen serán los elementos del conjunto imagen que tienen relación con alguno del origen. Sea (a, b) del conjunto imagen

(x-y-z , 2x-y-z) = (a, b)

x-y-z = a

2x-y-z = b

hacemos la misma resta anterior

x = b - a

lo llevamos a la primera

b-a-y-z = a

-y - z = 2a-b

Tomando y=0

z = b - 2a

Luego la imagen es Im(T)=R2

Ya que para cualquier (a, b) de R2 si tomamos el elemento (b-a, 0, b-2a) de R3 tendremos

T(b-a, 0, b-2a) = (a, b)

lo comprobamos

T(b-a, 0, b-2a) = (b-a-0-b+2a,  2b-2a-0-b+2a) = (a, b)

Otra forma de hallar la imagen habría sido mediante un teorema que dice que la dimensión del conjunto imagen es la del conjunto origen menos la del núcleo, con lo cual la dimensión del conjunto imagen será 3-1=2. Pero yo no sé si eso lo has dado ya.

Y eso es todo, sa lu dos.

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