¿Cómo resolver este problema de geometría?

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¡Hola Margarita!

Primero calculamos la altura de los triángulos isósceles de la pirámide usando lo que nos dicen del área.

El área de la base es

Ab= a^2

Y la de los triángulos laterales

At = a·h/2

a^2 = ah/2

2a^2 = ah

h = 2a

Esta h es el VE del dibujo donde V es el punto de arriba.

Entonces el coseno del ángulo JEV es

cos(JEV) = (a/2) / (2a) = 1/4

Y el ángulo JEO es la mitad de JEV por ser EG y EJ tangentes a la circunferencia del dibujo, dadas dos tangentes, la bisectriz de ellas pasa por el centro de la circunferencia

Dado el coseno de un ángulo la tangente del ángulo mitad es:

$$\begin{align}&tg \frac x2= \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+cosx}}\\&\\&tg(JEO)= \sqrt{\frac{1-\frac 14}{1+\frac 14}}=\sqrt{\frac 35}\\&\\&Tenemos \\&\\&\frac{\overline{OJ}}{\overline{JE}}=tg(JEO)\\&\\&\frac r{\frac a2}= \sqrt{\frac 35}\\&\\&r= \frac a2 \sqrt{\frac 35}= \frac{a \sqrt{15}}{10}\end{align}$$

Haré un dibujo a escala real para asegurarme que está bien:

Vale, parece que está todo bien. Espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así, pregúntame. Y si ya está bien, no olvides valorar la respuesta.

Sa lu dos.

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;)

Hola Margarirta Mora!
Ya la contesté en el siguiente enlace

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Saludos

;)

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