Demostrar que la ecuación representa una hipérbola y Determine centro, focos y vértices

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¡Hola Fabiancho!

Hay que completar cuadrados:

$$\begin{align}&9x^2-54x-4y^2+8y= -113\\&\\&(3x-9)^2-81 - (2y-2)^2 +4 = -113\\&\\&\text{sacamos de factor común los coeficientes de x y  y}\\&\text{pero elevados al cuadrado}\\&\\&9(x-3)^2-4(y-1)^2=-36\\&\\&-\frac{(x-3)^2}{4} +\frac{(y-1)^2}{9}=1\\&\\&\frac{(y-1)^2}{3^2}-\frac{(x-3)}{2^2}=1\\&\\&\text{es una hipérbola vertical}\\&\\&\text{ El centro es }(3,1)\\&\\&\text{La semidistancia focal en una hipérbola es}\\&\\&C=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\\&\\&\text{Al ser vertical esa distancia se mide en vertical desde el centro}\\&\\&F_1=(3,1-\sqrt{13})\\&F_2=(3,1+\sqrt{13}\\&\\&\text{Y los vértices están a=3 distancia a del centro en vertical}\\&\\&V_1=(3,1-3)=(3,-2)\\&V_2=(3,1+3)=(3,4)\end{align}$$

Y eso es todo,  sa lu dos.

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