Funciones de variable real mediante series
Expresa como una serie, cada una de las siguientes funciones:
a) f(x) = sen x
b) f(n)=2n
c) f(n)=1/n+1
Indica y fundamenta si las series son convergentes o divergentes.
2 respuestas
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¡Hola Victor!
Solo hacemos un ejercicio en cada pregunta. Te responderé el primero y si quieres los otros mándalos en sendas preguntas.
Para aplicar la fórmula de Taylor necesitamos conocer el valor de la función y las derivadas de la función en el punto alrededor del cual se desarrolla la fórmula. Cuando el punto es x=0 se llama fórmula de McLaurin también.
f(x) = senx ==> f(0) = 0
f'(x) = cosx ==> f'(0) = 1
f''(x) = -senx ==> f''(0) = 0
f'''(x) = -cosx ==> f'''(0) = -1
f''''(x) = senx
Y ya se ha completado el ciclo porque hemos vuelto a la función inicial, el ciclo son los cuatro valores (0, 1, 0, -1)
La fórmula de MsLaurin es:
$$\begin{align}&f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\&\\&\text{Veamos como queda para el seno, el termino general}\\&\text{es un poco rebuscado pero se comprueba que verdad}\\&\\&sen \,x=0 + x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-...+\frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\&\\&\text{Puesto de forma compacta es}\\&\\&sen\,x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\end{align}$$Y eso es todo. Como te decía debes mandar los otros en otros preguntas, pero para el segundo te pediré que digas si te refieres a 2n o a 2^n, lo primero es 2 por n y lo segundo 2 elevado a la n.
Sa lu dos.
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Ah, falta lo de la convergencia. Según el teorema de Cauchy-Hadamard el radi de convergencia de una serie de potencias
$$\begin{align}&\sum_{n^0}^{\infty}a_n(x-xo)\\&\\&es\\&\\&R= \frac{1}{\lim_{n\to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}}\\&\\&=\lim_{n\to \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{(2n+1)!}}{\frac 1{(2n+3)!}}=\\&\\&\lim_{n\to \infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!}=\lim_{n\to \infty} (2n+3)(2n+2)=\infty\end{align}$$Luego el radio de convergencia es infinito y el intervalo de convergencia es todo R.
Y eso es todo, saludos.
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Hola Victor Aviles!
Hacemos una de esas por pregunta
Te hago la primera:
f(x)=senx ==> f(0)=0
f'(x)=cosx ==> f'(0)=1
f''(x)=-senx ==> f''(0)=0
f'''(x)=-cosx ==> f'''(0)=-1
f''''(x)=senx ==> f''''(0)=0
f^v(x)=cosx ==> f^v(0)=1
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$$\begin{align}&f(x)=0+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+\frac{(-1)^3}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+ \frac{1}{5!}x^5+····=\\&\\&f(x)=\frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{5!}x^5+····=\\&\\&f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\&\\&Criterio \ del \ cociente\\&\lim_{n\to \infty}\Bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigg|<1 \Rightarrow Convergente\\&\\&\lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}· \frac{(2n+1)!}{x^{2n+1}}=\lim_{n\to \infty}\frac{x^2}{(2n+3)(2n+2)}=0<1\\&\\&Convergente \ para \ todo \ x\end{align}$$Saludos
;)
;)