Términos de los polinomios de Taylor

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¡Hola Victor!

Ya sabes que para calcular la fórmula de Taylor en un punto hay que calcular las derivadas en ese punto. Si es posible obtenerlas todas de forma genérica mejor que mejor. Una vez conocidas las derivadas solo es aplicar una fórmulilla sencilla de recordar.

$$\begin{align}&f(x)=log\,x\\&\\&f´(x)=\frac 1x=x^{-1}\implies f'(1)= \frac 11=1\\&\\&f''(x)= -x^{-2}\implies f''(1) = -1\\&\\&f'''(x)=2x^{-3}\implies f'''(1) = 2\\&\\&f''''(x)=-6x^{-4}\implies f''''(1)=-6\\&....\\&f^{(n)}(x)= (-1)^{n+1}·(n-1)!x^{-n}\implies f^{(n)}(1)=(-1)^{n+1}(n-1)!\\&\\&\text{La fórmula de Taylor es}\\&\\&f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\\&\\&log\,x=log\,1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{n!}(x-1)^n\\&\\&log \,x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}\\&\\&\text{Para que lo veas más claro}\\&\\&log \,x= \frac{(-1)^2(x-1)}{1}+\frac{(-1)^3(x-1)^2}{2}+\frac{(-1)^4 (x-1)^3}{3}+...\\&\\&log\,x= x-1-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+...+\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}\\&\\&\text{Existe otra form de representarla, si hacemos } x=x+1\\&\\&log(x+1)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}\\&\\&log(x+1) =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5 }- ....+\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}\end{align}$$

Yo no sé cuál de las dos formas es la que os habrán enseñado o cuál es la favorita del profesor.

Y eso es todo, sa lu dos.

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