¿La forma polar y la forma exponencial de un numero complejo es lo mismo?

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Hola Miriam !

Re refieres a esto:

$$\begin{align}&\sqrt{\frac{-2i}{-2-2i}}\\&\\&o\\&\\&\frac{\sqrt{-2i}}{{-2-2i}}\end{align}$$

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La forma polar es:

$$\begin{align}&r_{\theta}\\&\\&donde:\\&r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\\&\theta=arctan(\frac{y}{x})\\&\\&\end{align}$$

La forma exponencial viene de la fórmula de Euler:

$$\begin{align}&e^{i \theta}=\cos \theta + i sen \theta\\&\\&z=|z| e^{i \theta}\end{align}$$

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Me refiero a la segunda operación

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Hola Miriam!

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-2i está en el eje imaginrio negativo, luego directamente en polar es

$$\begin{align}&-2i=2_{270º}\\&\\&-2-2i\\&\\&|z|=\sqrt {2^2+2^2}=\sqrt 8=2 \sqrt  2\\&\\&x<0\\&y<0\\&luego \ está \ en \ el  \ 3r cuadrante:\\&tan {\theta}=\frac{-2}{-2}=1 \Rightarrow \theta=45º+180º=225º\\&\\&\\&\sqrt {-2i} = \sqrt{2_{270º}}={\sqrt 2}\\&\\&\alpha=\frac{270º+360ºk}{2}=\\&\\&k=0 \Rightarrow \alpha_{1}=\frac{270º}{2}=135º \Rightarrow \sqrt 2_{135º}\\&\\&k=1 \Rightarrow \alpha_2=\frac{270º+360º}{2}=315º \Rightarrow \sqrt 2 _{315º}\\&\\&hay \ dos \ raíces:\\&caso1:\\&\frac{\sqrt{-2i}}{-2-2i}=\frac{(\sqrt 2)_{135º}}{(2 \sqrt 2)_{225º}}=(\frac{1}{2})_{135º-225º}=(\frac{1}{2})_{-90º}=(\frac{1}{2})_{270º}=(\frac{1}{2})_{3 \pi/2}\\&\\&binómica: -\frac{1}{2}i\\&exponencial: (\frac{1}{2})e^{\frac{3 \pi}{2}i}\\&\\&caso 2:\\&\\&\frac{\sqrt{-2i}}{-2-2i}=\frac{(\sqrt 2)_{315º}}{(2 \sqrt 2)_{225º}}=(\frac{1}{2})_{315º-225º}=(\frac{1}{2})_{90º}=(\frac{1}{2})_{ \pi/2}\\&\\&binómica: \frac{1}{2}i\\&\\&exponencial: \frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{2}i}\end{align}$$

Espero que te sirva

Saludos

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¡Gracias! Ha sido muy útil

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Bueno ahora que veo la operación se tenía que hacer en exponencial previamente:

$$\begin{align}&\frac{ \sqrt 2 e^{\frac{3 \pi}{4}i}}{2 \sqrt 2 e^{\frac {5 \pi}{ 4}i}}= \frac{1}{2}e^{- \frac{2 \pi}{4}i}=\frac{1}{2}e^{- \frac{\pi}{2}i }= \frac{1}{2 }e^{ \frac{3 \pi}{2}i}\\&\\&\frac{ \sqrt 2 e^{\frac{7 \pi}{4}i}}{2 \sqrt 2 e^{\frac {5 \pi}{ 4}i}}= \frac{1}{2}e^{ \frac{2 \pi}{4}i}=\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{2}i }\end{align}$$

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Podrías resolver la misma operación pero en vez de raíz cuadrada de -2i, ¿poner raíz cuadrada de 2i? Gracias

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Mandala en otra pregunta

El Editor de ecuaciones se colapsa

Saludos

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Por qué cambias el signo en -pi/2 y lo conviertes es 3pi/2? 

¿Es necesario hacer las dos soluciones de la raíz cuadrada de -2i o solo seria valida una de ellas como en el ejercicio de después?

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¡Hola Miriam!

Están muy relacionadas las dos formas:

$$\begin{align}&\text{Forma polar: } r_{\alpha}\\&\text{Forma exponencial: } re^{i\alpha}\\&\\&\frac{\sqrt{2i}}{-2-2i}=\\&\\&\text{i forma angulo 90º}=\frac \pi 2\\&\\&\text{-2-2i forma ángulo 180º+45º }= \frac{5\pi}{4}\\&\text{Y su módulo es } \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt 8 = 2 \sqrt 2\\&\\&\\&\frac{\left(2e^{i\pi/2}\right)^{1/2}}{2 \sqrt 2·e^{5i\pi/4}}=\frac{\sqrt 2·e^{i\pi/4}}{2 \sqrt 2e^{5i\pi/4}}=\\&\\&\frac 12·e^{i\left(\frac \pi 4-\frac{5\pi}4\right)}=\frac 12e^{-\pi}=\\&\\&\text{que vuelto a forma binomial será}\\&\\&\frac 12(\cos(-\pi)+i·sen(-\pi))= \frac 12(-1+0)=\frac 12\end{align}$$

Está comprobada que está es la verdadera.

Y eso es todo, espero que te sirva, no olvides valorar la respuesta.

Sa lu dos.

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Por que en el ultimo paso no se cambia en signo y en vez de ser -pi es 2pi?

Lo que veo es que puse mal lo último, es -1/2.

Y respecto de lo otro no, es -pi

pi/4 - 5pi/4 = -4pi/4 = -pi

Aquí tienes la comprobación de que está bien:

Y eso es todo, sa lu dos.

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¿Por qué no haces las operaciones con las dos soluciones de la raíz cuadrada de 2i?

No entiendo lo que quieres decir. El ejercicio está bien hecho.

$$\begin{align}&\sqrt {2i} = (2i)^{\frac 12}=\left(2e^{i· \frac{\pi}{2}}\right)^{\frac 12}\end{align}$$

Explica mejor lo que quieres decir, trabajar con complejos en forma exponencial es poco intuitivo pero es así.

Lo que quiero decir es que no entiendo por qué no usas la fórmula de moivre para calcular las dos raíces de 2i; -una cuando que es 0 - otra cuando que es 1. De la manera que lo has hecho, creo( bajo mi punto de vista de aprendiz) que solo ofreces una solución de la raíz

Es que no hace falta, nos dicen que usemos la forma exponencial, pues la forma exponencial usamos. No es necesario calcular las raíces para hacer este ejercicio, se hace así.